Номер 49.13, страница 299, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.13. Экзамен пересдавали три ученика. Рассматриваются события: $A$ — экзамен сдал ровно один ученик; $B$ — хотя бы один ученик; $C$ — не менее двух учеников; $D$ — ровно два ученика. Опишите события:

a) $A + C$;

б) $A + D$;

в) $B + D$;

г) $A + B + C + D$.

Для решения задачи проанализируем каждое событие с точки зрения количества сдавших учеников. Всего учеников трое, поэтому число сдавших может быть 0, 1, 2 или 3.

• Событие $A$ (экзамен сдал ровно один ученик): количество сдавших равно 1.
• Событие $B$ (экзамен сдал хотя бы один ученик): количество сдавших равно 1, 2 или 3.
• Событие $C$ (экзамен сдали не менее двух учеников): количество сдавших равно 2 или 3.
• Событие $D$ (экзамен сдали ровно два ученика): количество сдавших равно 2.

Сумма событий (обозначается знаком "+") в теории вероятностей — это объединение событий (логическое "ИЛИ"). Событие $X + Y$ наступает, если наступает хотя бы одно из событий: $X$ или $Y$.

а) A + C

Событие $A + C$ означает, что произошло либо событие $A$ (сдал ровно один ученик), либо событие $C$ (сдали не менее двух, то есть двое или трое). Объединив эти исходы, получаем, что экзамен сдал один, или два, или три ученика. Это описание в точности совпадает с событием $B$.

С точки зрения множеств исходов, где $k$ — число сдавших:
$A = \{k=1\}$
$C = \{k=2, k=3\}$
Сумма событий $A+C$ соответствует объединению множеств: $A \cup C = \{k=1\} \cup \{k=2, k=3\} = \{k=1, 2, 3\}$, что соответствует событию $B$.

Ответ: Событие $A + C$ означает, что экзамен сдал хотя бы один ученик. Это событие эквивалентно событию $B$.

б) A + D

Событие $A + D$ означает, что произошло либо событие $A$ (сдал ровно один ученик), либо событие $D$ (сдали ровно два ученика).

Объединяя эти два непересекающихся исхода, получаем новое событие.

С точки зрения множеств исходов:
$A = \{k=1\}$
$D = \{k=2\}$
$A+D = A \cup D = \{k=1\} \cup \{k=2\} = \{k=1, 2\}$.

Ответ: Событие $A + D$ означает, что экзамен сдал либо один, либо два ученика.

в) B + D

Событие $B + D$ означает, что произошло либо событие $B$ (сдал хотя бы один ученик, то есть 1, 2 или 3), либо событие $D$ (сдали ровно два ученика).

Заметим, что событие $D$ является частным случаем (подмножеством) события $B$. Если произошло событие $D$ (сдали двое), это автоматически означает, что произошло и событие $B$ (сдал хотя бы один). Объединение множества с его подмножеством равно самому этому множеству.

Математически: $D \subset B$, поэтому $B \cup D = B$.
$B = \{k=1, 2, 3\}$
$D = \{k=2\}$
$B+D = \{k=1, 2, 3\} \cup \{k=2\} = \{k=1, 2, 3\}$, что соответствует событию $B$.

Ответ: Событие $B + D$ означает, что экзамен сдал хотя бы один ученик. Это событие эквивалентно событию $B$.

г) A + B + C + D

Событие $A + B + C + D$ означает, что произошло хотя бы одно из событий $A, B, C$ или $D$.

Как и в предыдущем пункте, заметим, что события $A$, $C$ и $D$ являются подмножествами события $B$:

• $A = \{k=1\} \subset B = \{k=1, 2, 3\}$
• $C = \{k=2, 3\} \subset B = \{k=1, 2, 3\}$
• $D = \{k=2\} \subset B = \{k=1, 2, 3\}$

Объединение события $B$ со всеми его подмножествами равно самому событию $B$.

$A \cup B \cup C \cup D = B$.

Ответ: Событие $A + B + C + D$ означает, что экзамен сдал хотя бы один ученик. Это событие эквивалентно событию $B$.