Номер 49.7, страница 298, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.7. В круге с центром в начале координат и радиусом $\pi$ случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что:

а) сумма координат этой точки больше 3;

б) произведение координат этой точки меньше 4;

в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{3}$;

г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами $(0; 2), (-2; -2), (1; -2).$

Для начала определим общее число исходов. Нам нужно найти все точки с целыми координатами $(x, y)$, которые лежат в круге с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \pi$.

Условие принадлежности точки кругу: $x^2 + y^2 \le R^2$. Поскольку $R = \pi \approx 3.14159$, то $R^2 = \pi^2 \approx 9.8696$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2 + y^2$ также является целым числом. Следовательно, условие можно записать как $x^2 + y^2 \le 9$.

Перечислим все возможные пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому неравенству:

• Если $x=0$, то $y^2 \le 9$, откуда $y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Это 7 точек.
• Если $x=\pm1$, то $1 + y^2 \le 9 \implies y^2 \le 8$, откуда $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Это $2 \times 5 = 10$ точек.
• Если $x=\pm2$, то $4 + y^2 \le 9 \implies y^2 \le 5$, откуда $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Это $2 \times 5 = 10$ точек.
• Если $x=\pm3$, то $9 + y^2 \le 9 \implies y^2 \le 0$, откуда $y=0$. Это $2 \times 1 = 2$ точки.

Суммарное количество точек (общее число элементарных исходов) $N = 7 + 10 + 10 + 2 = 29$.

Вероятность любого события $A$ будет вычисляться по формуле $P(A) = \frac{k}{N}$, где $k$ — число благоприятных исходов, а $N=29$.

а) сумма координат этой точки больше 3;
Нам нужно найти количество точек $(x, y)$ из нашего множества, для которых выполняется условие $x + y > 3$. Проверим точки с наибольшими положительными координатами:

• (3, 0): $3 + 0 = 3$. Не подходит.
• (2, 2): $2 + 2 = 4$. Подходит.
• (2, 1): $2 + 1 = 3$. Не подходит.
• (1, 2): $1 + 2 = 3$. Не подходит.

Все остальные точки из нашего множества имеют сумму координат, не превышающую 3. Таким образом, только одна точка (2, 2) удовлетворяет условию. Число благоприятных исходов $k_a = 1$. Вероятность: $P(a) = \frac{k_a}{N} = \frac{1}{29}$.
Ответ: $\frac{1}{29}$

б) произведение координат этой точки меньше 4;
Нам нужно найти количество точек $(x, y)$, для которых $x \cdot y < 4$. Проще найти количество точек, для которых условие не выполняется (т.е. $x \cdot y \ge 4$), и вычесть это число из общего количества точек. Проверим все 29 точек:

• (2, 2): $2 \cdot 2 = 4$. Условие $x \cdot y \ge 4$ выполняется.
• (-2, -2): $(-2) \cdot (-2) = 4$. Условие $x \cdot y \ge 4$ выполняется.

Для всех остальных точек произведение координат будет меньше 4 (например, для (2,1) произведение 2, для (1,2) произведение 2, для (3,0) произведение 0, для (-2,2) произведение -4 и т.д.). Таким образом, есть 2 точки, не удовлетворяющие условию. Число благоприятных исходов $k_б = N - 2 = 29 - 2 = 27$. Вероятность: $P(б) = \frac{k_б}{N} = \frac{27}{29}$.
Ответ: $\frac{27}{29}$

в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{3}$;
Условие принадлежности точки этому кругу: $x^2 + y^2 \le (\sqrt{3})^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 3$. Найдем все точки с целыми координатами, удовлетворяющие этому условию:

• Если $x=0$, то $y^2 \le 3 \implies y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (0, -1), (0, 0), (0, 1). (3 точки)
• Если $x=\pm1$, то $1 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 2 \implies y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (1, -1), (1, 0), (1, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1). (6 точек)
• Если $|x| \ge 2$, то $x^2 \ge 4$, что больше 3, поэтому других решений нет.

Общее число благоприятных исходов $k_в = 3 + 6 = 9$. Вероятность: $P(в) = \frac{k_в}{N} = \frac{9}{29}$.
Ответ: $\frac{9}{29}$

г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами (0; 2), (-2; -2), (1; -2).
Обозначим вершины треугольника: A(0, 2), B(-2, -2), C(1, -2). Найдем количество точек, которые лежат внутри или на границе этого треугольника, а затем вычтем это число из общего количества точек (29). Уравнения прямых, образующих стороны треугольника:

• Сторона BC: $y = -2$, при $-2 \le x \le 1$.
• Сторона AB (через A(0,2) и B(-2,-2)): $y = 2x + 2$.
• Сторона AC (через A(0,2) и C(1,-2)): $y = -4x + 2$.

Точка $(x,y)$ находится внутри или на границе треугольника, если выполняются три условия: $y \ge -2$, $y \le 2x+2$ и $y \le -4x+2$. Переберем все 29 точек и найдем те, которые лежат внутри или на границе:

• При $y = -2$: (-2, -2), (-1, -2), (0, -2), (1, -2) — 4 точки на стороне BC.
• При $y = -1$: (-1, -1), (0, -1) — 2 точки.
• При $y = 0$: (-1, 0), (0, 0) — 2 точки.
• При $y = 1$: (0, 1) — 1 точка.
• При $y = 2$: (0, 2) — 1 точка (вершина A).

Всего точек внутри или на границе треугольника: $k_{внутри} = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10$. Число точек, лежащих вне треугольника (благоприятные исходы): $k_г = N - k_{внутри} = 29 - 10 = 19$. Вероятность: $P(г) = \frac{k_г}{N} = \frac{19}{29}$.
Ответ: $\frac{19}{29}$