Номер 49.5, страница 297, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.5. Из значений $n!$ для $n = 1, 2, 3, \ldots, 25$ случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число:

а) меньше миллиона;

б) больше миллиарда;

в) делится на миллион;

г) не делится на тысячу.

Всего в наборе 25 чисел ($1!, 2!, \dots, 25!$). Это общее число равновероятных исходов. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

а) меньше миллиона

Нам нужно найти количество таких $n$ (от 1 до 25), для которых выполняется неравенство $n! < 1,000,000$.

Вычислим значения факториалов последовательно:

• $1! = 1$
• $2! = 2$
• $3! = 6$
• $4! = 24$
• $5! = 120$
• $6! = 720$
• $7! = 5040$
• $8! = 40,320$
• $9! = 362,880$

Все эти 9 значений меньше миллиона. Проверим следующее значение:

$10! = 9! \times 10 = 362,880 \times 10 = 3,628,800$.

Так как $10! > 1,000,000$, то и все последующие факториалы ($11!, 12!, \dots, 25!$) будут больше миллиона, поскольку последовательность $n!$ возрастающая.

Следовательно, благоприятными являются исходы, соответствующие $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Число благоприятных исходов равно 9.

Вероятность $P = \frac{9}{25}$.

Ответ: $\frac{9}{25}$

б) больше миллиарда

Нам нужно найти количество таких $n$, для которых выполняется неравенство $n! > 1,000,000,000$ ($10^9$).

Продолжим вычислять значения факториалов:

• $10! = 3,628,800$
• $11! = 10! \times 11 = 39,916,800$
• $12! = 11! \times 12 = 479,001,600$

Эти значения меньше миллиарда. Проверим следующее значение:

$13! = 12! \times 13 = 479,001,600 \times 13 = 6,227,020,800$.

Так как $13! > 10^9$, то все последующие факториалы ($n!$ для $n > 13$) также будут больше миллиарда.

Следовательно, благоприятными являются исходы, соответствующие $n = 13, 14, 15, \dots, 25$.

Число таких значений $n$ равно $25 - 13 + 1 = 13$.

Вероятность $P = \frac{13}{25}$.

Ответ: $\frac{13}{25}$

в) делится на миллион

Нам нужно найти количество таких $n$, для которых $n!$ делится на $1,000,000$.

Разложим миллион на простые множители: $1,000,000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = 2^6 \times 5^6$.

Для того чтобы $n!$ делилось на $10^6$, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители было не менее шести двоек и не менее шести пятерок.

Количество множителей 2 в разложении $n!$ всегда больше, чем количество множителей 5. Поэтому достаточно проверить, при каких $n$ в разложении $n!$ будет не менее шести пятерок.

Число множителей 5 в разложении $n!$ находится по формуле Лежандра: $E_5(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \dots$

Нам нужно найти $n$, при котором $E_5(n!) \geq 6$.

При $n < 25$, $E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor$. Максимальное значение этого выражения при $n=24$ равно $\lfloor \frac{24}{5} \rfloor = 4$. Это меньше 6.

При $n = 25$, $E_5(25!) = \lfloor \frac{25}{5} \rfloor + \lfloor \frac{25}{25} \rfloor = 5 + 1 = 6$.

Таким образом, только при $n=25$ в разложении $n!$ содержится ровно шесть пятерок (а двоек, очевидно, больше шести). Значит, только $25!$ делится на миллион.

Число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность $P = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$

г) не делится на тысячу

Нам нужно найти количество таких $n$, для которых $n!$ не делится на $1,000$.

Разложим тысячу на простые множители: $1,000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$.

$n!$ делится на 1000, если в его разложении есть как минимум три двойки и три пятерки.

Найдем наименьшее $n$, при котором $n!$ делится на 1000. Для этого достаточно найти наименьшее $n$, при котором число пятерок в разложении $n!$ не меньше 3.

$E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \dots \geq 3$.

При $n=5, \dots, 9$, $E_5(n!) = 1$.

При $n=10, \dots, 14$, $E_5(n!) = 2$.

При $n=15$, $E_5(15!) = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor = 3$.

Значит, при $n \geq 15$ число $n!$ делится на 1000 (так как множителей 2 заведомо больше трех).

Событие "число не делится на тысячу" означает, что $n!$ не делится на 1000. Это условие выполняется для $n < 15$.

Следовательно, благоприятными являются исходы, соответствующие $n = 1, 2, \dots, 14$.

Число благоприятных исходов равно 14.

Вероятность $P = \frac{14}{25}$.

Ответ: $\frac{14}{25}$