Страница 297, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

49.1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:

a) делится на 5;

б) делится на 13;

в) делится или на 15, или на 25;

г) не делится на 29.

Для решения задачи сначала определим общее количество двузначных натуральных чисел.Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно.Их общее количество $N$ можно найти по формуле: $N = 99 - 10 + 1 = 90$.Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов. В нашем случае $N=90$.

а) делится на 5;

Найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 5. Это числа: 10, 15, 20, ..., 95.Чтобы найти их количество, можно заметить, что это арифметическая прогрессия. Первый член $a_1=10$, последний $a_n=95$, разность $d=5$.Количество членов $m_a$ можно найти по формуле $a_n = a_1 + (m_a-1)d$:$95 = 10 + (m_a-1) \cdot 5$$85 = (m_a-1) \cdot 5$$17 = m_a-1$$m_a = 18$.Таким образом, есть 18 благоприятных исходов.Вероятность того, что выбранное число делится на 5, равна:$P(а) = \frac{m_a}{N} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) делится на 13;

Найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 13.Перечислим эти числа:$13 \cdot 1 = 13$;$13 \cdot 2 = 26$;$13 \cdot 3 = 39$;$13 \cdot 4 = 52$;$13 \cdot 5 = 65$;$13 \cdot 6 = 78$;$13 \cdot 7 = 91$.$13 \cdot 8 = 104$ (это уже трехзначное число).Всего таких чисел 7. Следовательно, число благоприятных исходов $m_б = 7$.Вероятность того, что выбранное число делится на 13, равна:$P(б) = \frac{m_б}{N} = \frac{7}{90}$.
Ответ: $\frac{7}{90}$

в) делится или на 15, или на 25;

Пусть событие A — «число делится на 15», а событие B — «число делится на 25». Нам нужно найти вероятность события $A \cup B$ (число делится на 15 или на 25).Для этого найдем общее число благоприятных исходов $m_в = m_A + m_B - m_{A \cap B}$, где $m_A$ - количество чисел, кратных 15, $m_B$ - количество чисел, кратных 25, а $m_{A \cap B}$ - количество чисел, кратных и 15, и 25.Найдем количество двузначных чисел, кратных 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Всего 6 чисел, значит $m_A = 6$.Найдем количество двузначных чисел, кратных 25: 25, 50, 75. Всего 3 числа, значит $m_B = 3$.Событие $A \cap B$ означает, что число делится и на 15, и на 25, то есть делится на их наименьшее общее кратное, НОК(15, 25).$15 = 3 \cdot 5$$25 = 5^2$НОК(15, 25) = $3 \cdot 5^2 = 75$.Единственное двузначное число, которое делится на 75, это само число 75. Значит, $m_{A \cap B} = 1$.Число благоприятных исходов для события «делится на 15 или на 25» равно:$m_в = m_A + m_B - m_{A \cap B} = 6 + 3 - 1 = 8$.Вероятность этого события:$P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$.
Ответ: $\frac{4}{45}$

г) не делится на 29.

Это событие является противоположным событию «число делится на 29».Пусть событие C — «число делится на 29». Тогда искомая вероятность $P(C') = 1 - P(C)$.Сначала найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 29.$29 \cdot 1 = 29$;$29 \cdot 2 = 58$;$29 \cdot 3 = 87$.$29 \cdot 4 = 116$ (трехзначное).Всего 3 таких числа. Число благоприятных исходов для события C равно $m_C = 3$.Вероятность события C:$P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.Тогда вероятность противоположного события (число не делится на 29) равна:$P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$.
Ответ: $\frac{29}{30}$

49.2. Случайным образом выбирают нечётное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что:

а) его квадрат меньше 1000;

б) его квадрат больше 9000;

в) сумма квадратов его цифр больше 140;

г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Для решения задачи сначала определим общее количество элементарных исходов. Нам нужно найти количество нечётных двузначных натуральных чисел.

Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99. Их общее количество: $99 - 10 + 1 = 90$.

Нечётные числа — это те, которые оканчиваются на нечётную цифру (1, 3, 5, 7, 9). В каждом десятке (10–19, 20–29, ..., 90–99) содержится ровно 5 нечётных чисел. Так как всего 9 таких десятков, то общее количество нечётных двузначных чисел равно $N = 9 \times 5 = 45$. Это общее число равновероятных исходов.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) его квадрат меньше 1000;

Пусть $x$ — случайно выбранное нечётное двузначное число. Найдём вероятность события, при котором $x^2 < 1000$. Это неравенство эквивалентно $x < \sqrt{1000}$.

Поскольку $31^2 = 961$ и $32^2 = 1024$, то $\sqrt{1000} \approx 31.6$.

Следовательно, нам необходимо найти количество нечётных двузначных чисел $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 31$.

Перечислим эти числа: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31.

Число благоприятствующих исходов $m_а = 11$.

Вероятность данного события: $P(а) = \frac{m_а}{N} = \frac{11}{45}$.

Ответ: $\frac{11}{45}$

б) его квадрат больше 9000;

Найдём вероятность события, при котором $x^2 > 9000$, что эквивалентно $x > \sqrt{9000}$.

Поскольку $94^2 = 8836$ и $95^2 = 9025$, то $\sqrt{9000} \approx 94.87$.

Нам необходимо найти количество нечётных двузначных чисел $x$, которые удовлетворяют условию $x \ge 95$.

Это числа: 95, 97, 99.

Число благоприятствующих исходов $m_б = 3$.

Вероятность данного события: $P(б) = \frac{m_б}{N} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$

в) сумма квадратов его цифр больше 140;

Пусть число представлено в виде $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$).

Нам нужно найти числа, удовлетворяющие условию $a^2 + b^2 > 140$. Проверим возможные комбинации цифр, начиная с наибольших.

Если $b=9$, то $b^2=81$. Неравенство принимает вид $a^2 + 81 > 140$, или $a^2 > 59$. Этому условию удовлетворяют $a=8$ ($8^2=64$) и $a=9$ ($9^2=81$). Получаем числа: 89, 99.

Если $b=7$, то $b^2=49$. Неравенство принимает вид $a^2 + 49 > 140$, или $a^2 > 91$. Таких цифр $a$ не существует, так как максимальное значение $a^2$ равно $9^2=81$.

Для меньших значений $b$ неравенство тем более не будет выполняться.

Таким образом, только два числа удовлетворяют условию: 89 и 99. Число благоприятствующих исходов $m_в = 2$.

Вероятность данного события: $P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{2}{45}$.

Ответ: $\frac{2}{45}$

г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Найдём числа вида $10a+b$, удовлетворяющие условию $a^2 + b^2 \le 10$, где $b$ — нечётное.

Проверим возможные значения для цифры десятков $a$:

Если $a=1$, то $1^2+b^2 \le 10 \implies b^2 \le 9$. Подходят нечётные $b=1$ и $b=3$. Получаем числа: 11, 13.

Если $a=2$, то $2^2+b^2 \le 10 \implies 4+b^2 \le 10 \implies b^2 \le 6$. Подходит нечётное $b=1$. Получаем число: 21.

Если $a=3$, то $3^2+b^2 \le 10 \implies 9+b^2 \le 10 \implies b^2 \le 1$. Подходит нечётное $b=1$. Получаем число: 31.

Если $a \ge 4$, то $a^2 \ge 16$, и неравенство $a^2+b^2 \le 10$ заведомо не выполняется, так как $b^2 \ge 1$.

Таким образом, условию удовлетворяют четыре числа: 11, 13, 21, 31. Число благоприятствующих исходов $m_г = 4$.

Вероятность данного события: $P(г) = \frac{m_г}{N} = \frac{4}{45}$.

Ответ: $\frac{4}{45}$

49.3. Два ученика независимо друг от друга написали по одному двузначному натуральному числу. Найдите вероятность того, что:

а) эти два числа различны между собой;

б) сумма чисел равна 100;

в) сумма чисел не больше 25;

г) сумма чисел больше 190.

Сначала определим общее число возможных исходов. Двузначные натуральные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Количество таких чисел равно $99 - 10 + 1 = 90$. Поскольку два ученика пишут числа независимо друг от друга, общее число элементарных исходов (пар чисел), обозначим его $N$, равно произведению числа вариантов для каждого ученика: $N = 90 \times 90 = 8100$. Это общее число всех возможных пар чисел, которые могут написать ученики.

а) эти два числа различны между собой;

Пусть событие A заключается в том, что ученики написали различные числа. Удобнее найти вероятность противоположного события A', которое состоит в том, что ученики написали одинаковые числа. Количество благоприятных исходов для события A' (когда числа совпадают) равно количеству двузначных чисел, так как возможны пары (10,10), (11,11), ..., (99,99). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию A', равно $m_{A'} = 90$. Вероятность события A' равна: $P(A') = \frac{m_{A'}}{N} = \frac{90}{8100} = \frac{1}{90}$. События A и A' являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Вероятность события A можно найти как: $P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{90} = \frac{89}{90}$.
Ответ: $\frac{89}{90}$

б) сумма чисел равна 100;

Пусть событие B заключается в том, что сумма написанных чисел $x$ и $y$ равна 100, то есть $x + y = 100$. Оба числа $x$ и $y$ должны быть двузначными, то есть $10 \le x \le 99$ и $10 \le y \le 99$. Выразим $y$ через $x$: $y = 100 - x$. Подставим это в неравенство для $y$: $10 \le 100 - x \le 99$. Решим это двойное неравенство относительно $x$: 1) $10 \le 100 - x \implies x \le 100 - 10 \implies x \le 90$. 2) $100 - x \le 99 \implies x \ge 100 - 99 \implies x \ge 1$. Учитывая, что $x$ — двузначное число ($10 \le x \le 99$), получаем, что $x$ может принимать любое целое значение от 10 до 90 включительно. Количество таких значений для $x$ равно $90 - 10 + 1 = 81$. Каждому такому значению $x$ соответствует единственное значение $y$, которое также будет двузначным. Следовательно, количество благоприятных исходов $m_B = 81$. Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{81}{8100} = \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{100}$

в) сумма чисел не больше 25;

Пусть событие C заключается в том, что сумма чисел $x + y \le 25$. Так как $x$ и $y$ — двузначные числа, то $x \ge 10$ и $y \ge 10$. Минимальная возможная сумма равна $10 + 10 = 20$. Следовательно, нам нужно найти количество пар $(x, y)$, для которых $10 \le x, y \le 99$ и $20 \le x + y \le 25$. Перечислим все возможные пары, систематически перебирая значения $x$:
- Если $x = 10$, то $10 + y \le 25 \implies y \le 15$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12, 13, 14, 15 (6 пар).
- Если $x = 11$, то $11 + y \le 25 \implies y \le 14$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12, 13, 14 (5 пар).
- Если $x = 12$, то $12 + y \le 25 \implies y \le 13$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12, 13 (4 пары).
- Если $x = 13$, то $13 + y \le 25 \implies y \le 12$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12 (3 пары).
- Если $x = 14$, то $14 + y \le 25 \implies y \le 11$. Возможные значения для $y$: 10, 11 (2 пары).
- Если $x = 15$, то $15 + y \le 25 \implies y \le 10$. Возможное значение для $y$: 10 (1 пара).
Если $x > 15$, то минимальная сумма $x+y$ будет больше $15+10 = 25$, что не удовлетворяет условию. Общее количество благоприятных исходов $m_C$ равно сумме найденных пар: $m_C = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$. Вероятность события C равна: $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{21}{8100} = \frac{7}{2700}$.
Ответ: $\frac{7}{2700}$

г) сумма чисел больше 190.

Пусть событие D заключается в том, что сумма чисел $x + y > 190$. Максимальное значение для $x$ и $y$ равно 99, соответственно, максимальная сумма равна $99 + 99 = 198$. Найдем количество пар $(x, y)$, удовлетворяющих условию. Условие можно переписать как $y > 190 - x$. Перечислим возможные пары, начиная с наибольших возможных значений $x$:
- Если $x = 99$, то $y > 190 - 99 = 91$. Возможные $y$: 92, 93, ..., 99 (8 пар).
- Если $x = 98$, то $y > 190 - 98 = 92$. Возможные $y$: 93, 94, ..., 99 (7 пар).
- Если $x = 97$, то $y > 190 - 97 = 93$. Возможные $y$: 94, 95, ..., 99 (6 пар).
- Если $x = 96$, то $y > 190 - 96 = 94$. Возможные $y$: 95, 96, ..., 99 (5 пар).
- Если $x = 95$, то $y > 190 - 95 = 95$. Возможные $y$: 96, 97, 98, 99 (4 пары).
- Если $x = 94$, то $y > 190 - 94 = 96$. Возможные $y$: 97, 98, 99 (3 пары).
- Если $x = 93$, то $y > 190 - 93 = 97$. Возможные $y$: 98, 99 (2 пары).
- Если $x = 92$, то $y > 190 - 92 = 98$. Возможный $y$: 99 (1 пара).
Если $x < 92$, например $x=91$, то $y > 190-91=99$, что невозможно, так как $y \le 99$. Общее количество благоприятных исходов $m_D$ равно сумме найденных пар: $m_D = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$. Вероятность события D равна: $P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{36}{8100} = \frac{4}{900} = \frac{1}{225}$.
Ответ: $\frac{1}{225}$

49.4. Из набора домино случайно выбирают одну фишку. Найдите вероятность того, что:

а) это дубль;

б) одна из её половинок — пустышка;

в) различие между очками на ней больше 4;

г) сумма очков на ней больше 7.

Для решения задачи сперва определим общее число исходов. Стандартный набор домино состоит из фишек, на половинках которых нанесены точки от 0 до 6. Фишка определяется парой чисел $(i, j)$, где $i, j \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, и порядок чисел в паре не имеет значения, то есть фишка $(i, j)$ — это то же самое, что и $(j, i)$.

Общее число фишек в наборе домино можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2 (две половинки фишки). Общее число фишек $N$ равно сумме $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$. Таким образом, общее число равновозможных исходов при выборе одной фишки — $N=28$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) это дубль;

Событие A: выбранная фишка — дубль. Дубль — это фишка, у которой на обеих половинках одинаковое количество очков. В наборе домино есть следующие дубли: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Число благоприятных исходов $m_a = 7$. Вероятность того, что выбранная фишка окажется дублем, равна: $P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) одна из её половинок — пустышка;

Событие B: одна из половинок фишки — пустышка (содержит 0 очков). Найдем все фишки, у которых есть половинка с нулем очков: (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6). Число благоприятных исходов $m_б = 7$. Вероятность того, что на одной из половинок фишки будет ноль очков, равна: $P(B) = \frac{m_б}{N} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) различие между очками на ней больше 4;

Событие C: различие между очками на половинках фишки больше 4. Пусть на половинках фишки $(i, j)$ находятся очки $i$ и $j$. Нам нужно найти фишки, для которых $|i-j| > 4$, то есть различие равно 5 или 6. Перечислим все такие фишки, учитывая, что $0 \le i \le j \le 6$: Фишки с разницей в 5 очков: (0,5), (1,6). Фишка с разницей в 6 очков: (0,6). Всего таких фишек 3: (0,5), (1,6), (0,6). Число благоприятных исходов $m_в = 3$. Вероятность этого события равна: $P(C) = \frac{m_в}{N} = \frac{3}{28}$.

Ответ: $\frac{3}{28}$

г) сумма очков на ней больше 7.

Событие D: сумма очков на фишке больше 7. Пусть на половинках фишки $(i, j)$ находятся очки $i$ и $j$. Нам нужно найти фишки, для которых $i+j > 7$. Перечислим все такие фишки, учитывая, что $0 \le i \le j \le 6$: Фишки с суммой 8: (2,6), (3,5), (4,4). Фишки с суммой 9: (3,6), (4,5). Фишки с суммой 10: (4,6), (5,5). Фишка с суммой 11: (5,6). Фишка с суммой 12: (6,6). Общее число благоприятных исходов $m_г = 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9$. Вероятность этого события равна: $P(D) = \frac{m_г}{N} = \frac{9}{28}$.

Ответ: $\frac{9}{28}$

49.5. Из значений $n!$ для $n = 1, 2, 3, \ldots, 25$ случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число:

а) меньше миллиона;

б) больше миллиарда;

в) делится на миллион;

г) не делится на тысячу.

Всего в наборе 25 чисел ($1!, 2!, \dots, 25!$). Это общее число равновероятных исходов. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

а) меньше миллиона

Нам нужно найти количество таких $n$ (от 1 до 25), для которых выполняется неравенство $n! < 1,000,000$.

Вычислим значения факториалов последовательно:

• $1! = 1$
• $2! = 2$
• $3! = 6$
• $4! = 24$
• $5! = 120$
• $6! = 720$
• $7! = 5040$
• $8! = 40,320$
• $9! = 362,880$

Все эти 9 значений меньше миллиона. Проверим следующее значение:

$10! = 9! \times 10 = 362,880 \times 10 = 3,628,800$.

Так как $10! > 1,000,000$, то и все последующие факториалы ($11!, 12!, \dots, 25!$) будут больше миллиона, поскольку последовательность $n!$ возрастающая.

Следовательно, благоприятными являются исходы, соответствующие $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Число благоприятных исходов равно 9.

Вероятность $P = \frac{9}{25}$.

Ответ: $\frac{9}{25}$

б) больше миллиарда

Нам нужно найти количество таких $n$, для которых выполняется неравенство $n! > 1,000,000,000$ ($10^9$).

Продолжим вычислять значения факториалов:

• $10! = 3,628,800$
• $11! = 10! \times 11 = 39,916,800$
• $12! = 11! \times 12 = 479,001,600$

Эти значения меньше миллиарда. Проверим следующее значение:

$13! = 12! \times 13 = 479,001,600 \times 13 = 6,227,020,800$.

Так как $13! > 10^9$, то все последующие факториалы ($n!$ для $n > 13$) также будут больше миллиарда.

Следовательно, благоприятными являются исходы, соответствующие $n = 13, 14, 15, \dots, 25$.

Число таких значений $n$ равно $25 - 13 + 1 = 13$.

Вероятность $P = \frac{13}{25}$.

Ответ: $\frac{13}{25}$

в) делится на миллион

Нам нужно найти количество таких $n$, для которых $n!$ делится на $1,000,000$.

Разложим миллион на простые множители: $1,000,000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = 2^6 \times 5^6$.

Для того чтобы $n!$ делилось на $10^6$, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители было не менее шести двоек и не менее шести пятерок.

Количество множителей 2 в разложении $n!$ всегда больше, чем количество множителей 5. Поэтому достаточно проверить, при каких $n$ в разложении $n!$ будет не менее шести пятерок.

Число множителей 5 в разложении $n!$ находится по формуле Лежандра: $E_5(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \dots$

Нам нужно найти $n$, при котором $E_5(n!) \geq 6$.

При $n < 25$, $E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor$. Максимальное значение этого выражения при $n=24$ равно $\lfloor \frac{24}{5} \rfloor = 4$. Это меньше 6.

При $n = 25$, $E_5(25!) = \lfloor \frac{25}{5} \rfloor + \lfloor \frac{25}{25} \rfloor = 5 + 1 = 6$.

Таким образом, только при $n=25$ в разложении $n!$ содержится ровно шесть пятерок (а двоек, очевидно, больше шести). Значит, только $25!$ делится на миллион.

Число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность $P = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$

г) не делится на тысячу

Нам нужно найти количество таких $n$, для которых $n!$ не делится на $1,000$.

Разложим тысячу на простые множители: $1,000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$.

$n!$ делится на 1000, если в его разложении есть как минимум три двойки и три пятерки.

Найдем наименьшее $n$, при котором $n!$ делится на 1000. Для этого достаточно найти наименьшее $n$, при котором число пятерок в разложении $n!$ не меньше 3.

$E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \dots \geq 3$.

При $n=5, \dots, 9$, $E_5(n!) = 1$.

При $n=10, \dots, 14$, $E_5(n!) = 2$.

При $n=15$, $E_5(15!) = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor = 3$.

Значит, при $n \geq 15$ число $n!$ делится на 1000 (так как множителей 2 заведомо больше трех).

Событие "число не делится на тысячу" означает, что $n!$ не делится на 1000. Это условие выполняется для $n < 15$.

Следовательно, благоприятными являются исходы, соответствующие $n = 1, 2, \dots, 14$.

Число благоприятных исходов равно 14.

Вероятность $P = \frac{14}{25}$.

Ответ: $\frac{14}{25}$