Страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

49.22. В тёмном ящике $n$ белых и $n - 1$ чёрных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара.

a) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара.

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при $n \to \infty$?

г) Найдите наименьшее $n$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

а) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара.

В ящике находится $n$ белых и $n-1$ чёрных шаров. Общее количество шаров: $n + (n-1) = 2n-1$. Случайно вытаскивают 4 шара. Это возможно, если общее число шаров не меньше 4, то есть $2n-1 \ge 4$, что означает $n \ge 2.5$. Поскольку $n$ — целое число, $n \ge 3$.

Общее число способов вытащить 4 шара из $2n-1$ шаров равно числу сочетаний $C_{2n-1}^4$:
$N_{общ} = C_{2n-1}^4 = \frac{(2n-1)!}{4!(2n-5)!} = \frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}$.

Событие «имеется, как минимум, три белых шара» означает, что произошло одно из двух несовместных событий:

1. Вытащено ровно 3 белых шара и 1 чёрный шар.
2. Вытащено ровно 4 белых шара и 0 чёрных шаров.

Найдём число благоприятствующих исходов для каждого случая.

1. Число способов выбрать 3 белых шара из $n$ и 1 чёрный шар из $n-1$:
$N_1 = C_n^3 \cdot C_{n-1}^1 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot (n-1) = \frac{n(n-1)^2(n-2)}{6}$.

2. Число способов выбрать 4 белых шара из $n$ и 0 чёрных шаров из $n-1$:
$N_2 = C_n^4 \cdot C_{n-1}^0 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \cdot 1 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.
(Эта формула верна для $n \ge 4$. При $n=3$ числитель обращается в 0, что соответствует невозможности выбрать 4 белых шара из 3).

Общее число благоприятствующих исходов $N_{бл}$ равно сумме $N_1$ и $N_2$:
$N_{бл} = N_1 + N_2 = \frac{n(n-1)^2(n-2)}{6} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$
$N_{бл} = \frac{4n(n-1)^2(n-2) + n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$
$N_{бл} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot [4(n-1) + (n-3)]}{24} = \frac{n(n-1)(n-2)(5n-7)}{24}$.

Вероятность $P(n)$ равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:
$P(n) = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(5n-7)}{24}}{\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}}$
$P(n) = \frac{n(n-1)(n-2)(5n-7)}{(2n-1) \cdot 2(n-1) \cdot (2n-3) \cdot 2(n-2)}$.

При $n \ge 3$ можно сократить общие множители $(n-1)$ и $(n-2)$:
$P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}$.

Ответ: $P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}$

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом n.

Чтобы доказать, что вероятность $P(n)$ убывает с ростом $n$ (для $n \ge 3$), нужно показать, что $P(n+1) < P(n)$. Рассмотрим отношение $\frac{P(n+1)}{P(n)}$. Если оно меньше 1, то функция убывает.

$P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}$

$P(n+1) = \frac{(n+1)(5(n+1)-7)}{4(2(n+1)-1)(2(n+1)-3)} = \frac{(n+1)(5n-2)}{4(2n+1)(2n-1)}$

$\frac{P(n+1)}{P(n)} = \frac{\frac{(n+1)(5n-2)}{4(2n+1)(2n-1)}}{\frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)}} = \frac{(n+1)(5n-2)(2n-3)}{n(5n-7)(2n+1)}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: $(n+1)(10n^2 - 19n + 6) = 10n^3 - 9n^2 - 13n + 6$.

Знаменатель: $n(10n^2 - 9n - 7) = 10n^3 - 9n^2 - 7n$.

Необходимо доказать неравенство $\frac{10n^3 - 9n^2 - 13n + 6}{10n^3 - 9n^2 - 7n} < 1$.

Так как $n \ge 3$, знаменатель $n(5n-7)(2n+1)$ положителен, поэтому можно умножить обе части неравенства на него, сохранив знак:

$10n^3 - 9n^2 - 13n + 6 < 10n^3 - 9n^2 - 7n$

$-13n + 6 < -7n$

$6 < 6n$

$1 < n$

Это неравенство верно для всех $n \ge 2$. Поскольку мы рассматриваем $n \ge 3$, неравенство выполняется. Следовательно, $P(n+1) < P(n)$, и вероятность убывает с ростом $n$.

Ответ: Доказано, что вероятность убывает с ростом n.

в) К какому числу стремится эта вероятность при n > ??

Найдём предел функции $P(n)$ при $n \to \infty$:
$P(n) = \frac{n(5n-7)}{4(2n-1)(2n-3)} = \frac{5n^2 - 7n}{4(4n^2 - 8n + 3)} = \frac{5n^2 - 7n}{16n^2 - 32n + 12}$.

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n^2}{n^2} - \frac{7n}{n^2}}{\frac{16n^2}{n^2} - \frac{32n}{n^2} + \frac{12}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{7}{n}}{16 - \frac{32}{n} + \frac{12}{n^2}}$.

При $n \to \infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю:

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \frac{5 - 0}{16 - 0 + 0} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

г) Найдите наименьшее n, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

Нужно найти наименьшее целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $P(n) < 0.35$.

$P(n) = \frac{5n^2 - 7n}{16n^2 - 32n + 12} < 0.35$

Представим $0.35$ в виде дроби: $0.35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.

$\frac{5n^2 - 7n}{16n^2 - 32n + 12} < \frac{7}{20}$

Знаменатель $16n^2 - 32n + 12 = 4(2n-1)(2n-3)$ положителен для $n \ge 3$, поэтому можно умножить обе части на него:

$20(5n^2 - 7n) < 7(16n^2 - 32n + 12)$

$100n^2 - 140n < 112n^2 - 224n + 84$

$0 < 12n^2 - 84n + 84$

Разделим обе части на 12:

$n^2 - 7n + 7 > 0$

Решим квадратное уравнение $n^2 - 7n + 7 = 0$, чтобы найти корни:

$n = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 28}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{7 - \sqrt{21}}{2} \approx 1.21$ и $n_2 = \frac{7 + \sqrt{21}}{2} \approx 5.79$.

Парабола $y = n^2 - 7n + 7$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - 7n + 7 > 0$ выполняется при $n < n_1$ или $n > n_2$. Учитывая условие $n \ge 3$, получаем $n > n_2 \approx 5.79$.

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $n=6$.

Проверим результат, вычислив значения вероятности для $n=5$ и $n=6$:

$P(5) = \frac{5(5 \cdot 5 - 7)}{4(2 \cdot 5 - 1)(2 \cdot 5 - 3)} = \frac{5(18)}{4(9)(7)} = \frac{5}{14} \approx 0.3571 > 0.35$.

$P(6) = \frac{6(5 \cdot 6 - 7)}{4(2 \cdot 6 - 1)(2 \cdot 6 - 3)} = \frac{6(23)}{4(11)(9)} = \frac{23}{66} \approx 0.3485 < 0.35$.

Расчеты подтверждают, что наименьшее целое значение $n$, при котором вероятность становится меньше 0.35, равно 6.

Ответ: 6

49.23. Какова вероятность того, что при трёх бросаниях монеты:

a) ни разу не выпадет орёл;

б) ни разу не выпадет решка;

в) орёл выпадет ровно один раз;

г) решка выпадет хотя бы один раз?

При каждом броске монеты есть два возможных исхода: орёл (О) или решка (Р). Поскольку монету бросают три раза, общее число всех возможных равновероятных исходов можно найти по формуле $N = 2^k$, где $k$ - количество бросков.
В нашем случае $k=3$, поэтому общее число исходов $n = 2^3 = 8$.
Перечислим все возможные комбинации:
1. ООО (три орла)
2. ООР (два орла, одна решка)
3. ОРО (два орла, одна решка)
4. РОО (два орла, одна решка)
5. ОРР (один орёл, две решки)
6. РОР (один орёл, две решки)
7. РРО (один орёл, две решки)
8. РРР (три решки)

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P = m/n$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $n$ - общее число исходов.

а) ни разу не выпадет орёл;

Событие "ни разу не выпадет орёл" означает, что все три раза выпала решка. Этому условию соответствует только один исход из восьми возможных: РРР.
Число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 1/8$.
Ответ: $1/8$.

б) ни разу не выпадет решка;

Событие "ни разу не выпадет решка" означает, что все три раза выпал орёл. Этому условию соответствует только один исход: ООО.
Число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 1/8$.
Ответ: $1/8$.

в) орёл выпадет ровно один раз;

Найдём исходы, в которых орёл (О) встречается ровно один раз. Это следующие комбинации:
1. ОРР
2. РОР
3. РРО
Всего таких исходов 3.
Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 3/8$.
Ответ: $3/8$.

г) решка выпадет хотя бы один раз?

Событие "решка выпадет хотя бы один раз" означает, что решка может выпасть один, два или три раза. Проще найти вероятность противоположного события: "решка не выпадет ни разу".
Событие "решка не выпадет ни разу" — это то же самое, что "все три раза выпадет орёл" (исход ООО). Вероятность этого события мы нашли в пункте б), она равна $1/8$.
События "решка выпадет хотя бы один раз" и "решка не выпадет ни разу" являются противоположными, и сумма их вероятностей равна 1.
Следовательно, искомая вероятность равна: $P = 1 - P(\text{решка не выпадет ни разу}) = 1 - 1/8 = 7/8$.
Ответ: $7/8$.

49.24. Решите задачу 49.23 для четырёх бросаний монеты.

Поскольку задача 49.23, по всей видимости, рассматривает различные исходы при бросании трёх монет, решим аналогичную задачу для четырех монет. Пусть О - выпадение орла, а Р - выпадение решки.

При бросании четырех симметричных монет общее число равновозможных исходов равно $N = 2^4 = 16$. Это все возможные комбинации орлов и решек от ОООО до РРРР.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $N$ - общее число исходов. Число благоприятных исходов для выпадения $k$ орлов в $n$ бросках можно найти по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$.

а) Вероятность того, что не выпадет ни одного орла
Это событие означает, что все четыре раза выпала решка (РРРР). Такой исход только один, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.
С помощью формулы сочетаний: $m = C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$.
Вероятность этого события: $P_0 = \frac{m}{N} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) Вероятность того, что выпадет ровно один орёл
Это событие означает, что выпал один орёл и три решки. Орёл может появиться на любом из четырех мест (ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО).
Число благоприятных исходов $m = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Вероятность этого события: $P_1 = \frac{m}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) Вероятность того, что выпадет ровно два орла
Это событие означает, что выпало два орла и две решки. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 2 позиции для орлов из 4 возможных.
Число благоприятных исходов $m = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
(Исходы: ООРР, ОРОР, ОРРО, РООP, РОРО, РРОО).
Вероятность этого события: $P_2 = \frac{m}{N} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

г) Вероятность того, что выпадет ровно три орла
Это событие означает, что выпало три орла и одна решка. Это симметрично случаю с одним орлом.
Число благоприятных исходов $m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
(Исходы: ОООP, ООРO, ОРОО, РООО).
Вероятность этого события: $P_3 = \frac{m}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

д) Вероятность того, что выпадет четыре орла
Это событие означает, что все четыре раза выпал орёл (ОООО). Такой исход только один.
Число благоприятных исходов $m = C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$.
Вероятность этого события: $P_4 = \frac{m}{N} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

49.25. a) Какова вероятность того, что при $n$ бросаниях монеты решка выпадет хотя бы один раз?

б) Как меняется эта вероятность с изменением $n$?

в) Найдите предел этой вероятности при $n \rightarrow \infty$.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999?

а)

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Найдем вероятность противоположного события A', которое заключается в том, что при $n$ бросаниях монеты решка не выпадет ни разу. Это означает, что все $n$ раз выпадет орёл.

Вероятность выпадения орла при одном бросании монеты равна $1/2$. Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что орёл выпадет $n$ раз подряд, равна произведению вероятностей каждого из этих событий:

$P(A') = (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$

Событие A, "решка выпадет хотя бы один раз", является противоположным событию A'. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, искомая вероятность $P(A)$ равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{2^n}$

Ответ: $1 - \frac{1}{2^n}$

б)

Рассмотрим полученную вероятность $P(n) = 1 - \frac{1}{2^n}$ как функцию от числа бросков $n$.

С увеличением $n$, знаменатель $2^n$ растет. Следовательно, дробь $\frac{1}{2^n}$ уменьшается и стремится к нулю. Так как мы вычитаем эту уменьшающуюся величину из 1, результат $P(n)$ будет увеличиваться.

Например:

• При $n=1$, $P(1) = 1 - 1/2 = 0.5$
• При $n=2$, $P(2) = 1 - 1/4 = 0.75$
• При $n=3$, $P(3) = 1 - 1/8 = 0.875$

Таким образом, с увеличением числа бросков $n$ вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз, увеличивается, приближаясь к 1.

Ответ: С увеличением $n$ эта вероятность возрастает.

в)

Нужно найти предел вероятности $P(n) = 1 - \frac{1}{2^n}$ при $n$, стремящемся к бесконечности ($n \to \infty$).

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^n})$

Используя свойство предела разности, получаем:

$\lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}$

Предел константы равен самой константе, то есть $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$.

При $n \to \infty$, знаменатель $2^n$ стремится к бесконечности, следовательно, вся дробь $\frac{1}{2^n}$ стремится к 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$

Таким образом, искомый предел равен:

$1 - 0 = 1$

Ответ: 1

г)

Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, при котором вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999. Составим неравенство:

$P(n) > 0.999$

$1 - \frac{1}{2^n} > 0.999$

Решим это неравенство относительно $n$:

$1 - 0.999 > \frac{1}{2^n}$

$0.001 > \frac{1}{2^n}$

$\frac{1}{1000} > \frac{1}{2^n}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$1000 < 2^n$

Теперь подберем наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Рассмотрим степени двойки:

• $2^9 = 512$ (не удовлетворяет, так как $1000 \not< 512$)
• $2^{10} = 1024$ (удовлетворяет, так как $1000 < 1024$)

Следовательно, наименьшее значение $n$, при котором выполняется условие, равно 10.

Ответ: 10

○49.26. Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от $0$ до $9$. Какова вероятность того, что среди написанных цифр:

а) не будет ни одной цифры $0$;

б) будет хотя бы одна цифра $5$;

в) не будет ни одной чётной цифры;

г) будет хотя бы одна нечётная цифра?

Общее число возможных цифр для выбора — 10 (от 0 до 9). Поскольку три ученика независимо друг от друга выбирают по одной цифре, общее число всех возможных комбинаций из трех цифр (исходов) находится как $N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$. Будем считать все эти исходы равновероятными.

а) не будет ни одной цифры 0;

Пусть событие A заключается в том, что ни один из учеников не написал цифру 0. Это означает, что каждый ученик должен был выбрать любую цифру из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. В этом множестве 9 цифр. Так как выбор учеников независим, число благоприятных для события A исходов равно $m_a = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$. Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{729}{1000} = 0,729$.
Ответ: 0,729

б) будет хотя бы одна цифра 5;

Пусть событие B заключается в том, что хотя бы один ученик написал цифру 5. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{B}$, которое состоит в том, что ни один из учеников не написал цифру 5. Для наступления события $\bar{B}$ каждый ученик должен выбрать цифру из множества {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, в котором 9 цифр. Число исходов, благоприятствующих событию $\bar{B}$, равно $m_{\bar{B}} = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$. Вероятность события $\bar{B}$ равна $P(\bar{B}) = \frac{m_{\bar{B}}}{N} = \frac{729}{1000} = 0,729$. Поскольку события B и $\bar{B}$ противоположны, сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, вероятность события B равна: $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,729 = 0,271$.
Ответ: 0,271

в) не будет ни одной чётной цифры;

Пусть событие C заключается в том, что среди написанных цифр нет ни одной чётной. Это эквивалентно тому, что все три ученика написали нечётные цифры. Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 нечётных цифр. Каждый из трех учеников должен выбрать одну из этих 5 цифр. Число благоприятных исходов равно $m_c = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$. Вероятность события C равна: $P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{125}{1000} = 0,125$.
Ответ: 0,125

г) будет хотя бы одна нечётная цифра?

Пусть событие D заключается в том, что будет написана хотя бы одна нечётная цифра. Рассмотрим противоположное ему событие $\bar{D}$, которое состоит в том, что не будет ни одной нечётной цифры, то есть все три написанные цифры будут чётными. Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 чётных цифр. Число исходов, благоприятствующих событию $\bar{D}$, равно $m_{\bar{D}} = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$. Вероятность события $\bar{D}$ равна $P(\bar{D}) = \frac{m_{\bar{D}}}{N} = \frac{125}{1000} = 0,125$. Вероятность искомого события D равна разности единицы и вероятности противоположного события: $P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,125 = 0,875$.
Ответ: 0,875

49.27. Каждый из $n$ учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9.

a) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5?

б) Как меняется эта вероятность с изменением $n$?

в) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности её отсутствия?

а) Для нахождения вероятности того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5, удобнее сначала вычислить вероятность противоположного события, а именно, что ни один из $n$ учеников не напишет цифру 5.

Всего существует 10 цифр (от 0 до 9). Вероятность того, что один конкретный ученик напишет цифру, отличную от 5, составляет $p_{не\_5} = \frac{9}{10} = 0.9$.

Так как выборы учеников являются независимыми событиями, вероятность того, что все $n$ учеников напишут цифры, отличные от 5, равна произведению вероятностей для каждого ученика: $P(\text{нет ни одной 5}) = (0.9)^n$.

Событие «хотя бы одна цифра 5» является противоположным событию «нет ни одной цифры 5», поэтому его вероятность равна $1$ минус вероятность противоположного события.

Ответ: $1 - (0.9)^n$.

б) Вероятность появления хотя бы одной цифры 5 зависит от $n$ как функция $P(n) = 1 - (0.9)^n$. Чтобы понять, как она меняется с изменением $n$, проанализируем эту функцию.

Основание степени $0.9$ меньше единицы, поэтому с увеличением показателя степени $n$ значение $(0.9)^n$ будет уменьшаться.

Поскольку мы вычитаем убывающую величину $(0.9)^n$ из единицы, разность $1 - (0.9)^n$ будет увеличиваться.

Таким образом, с увеличением числа учеников $n$ вероятность того, что среди написанных ими цифр будет хотя бы одна цифра 5, возрастает.

Ответ: С увеличением $n$ эта вероятность возрастает.

в) Необходимо найти предел вероятности $P(n) = 1 - (0.9)^n$ при $n$, стремящемся к бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} P(n) = \lim_{n \to \infty} (1 - (0.9)^n) = 1 - \lim_{n \to \infty} (0.9)^n$.

Мы используем известное свойство пределов для геометрической прогрессии: если $|q| < 1$, то $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$. В нашем случае $q = 0.9$, и это условие выполняется.

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} (0.9)^n = 0$.

Тогда искомый предел равен $1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

г) Вероятность появления хотя бы одной цифры 5 равна $P_A = 1 - (0.9)^n$. Вероятность её отсутствия (т.е. ни одной цифры 5) равна $P_{\bar{A}} = (0.9)^n$.

Нам нужно найти наименьшее целое $n$, при котором выполняется неравенство $P_A > P_{\bar{A}}$:

$1 - (0.9)^n > (0.9)^n$

Прибавим $(0.9)^n$ к обеим частям неравенства:

$1 > 2 \cdot (0.9)^n$

Разделим обе части на 2:

$0.5 > (0.9)^n$

Чтобы решить это неравенство относительно $n$, прологарифмируем обе части. Возьмем натуральный логарифм:

$\ln(0.5) > \ln((0.9)^n)$

$ \ln(0.5) > n \cdot \ln(0.9)$

Поскольку $\ln(0.9)$ является отрицательным числом ($\ln(x) < 0$ при $0 < x < 1$), при делении на него знак неравенства изменится на противоположный:

$n > \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.9)}$

Вычислим значение дроби: $\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.9)} \approx \frac{-0.6931}{-0.1054} \approx 6.576$.

Итак, $n > 6.576$. Поскольку $n$ — это число учеников, оно должно быть целым. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 7.

Проверим:

При $n=6$: $(0.9)^6 \approx 0.531$, что больше $0.5$. Неравенство не выполняется.

При $n=7$: $(0.9)^7 \approx 0.478$, что меньше $0.5$. Неравенство выполняется.

Ответ: $n=7$.

49.28. Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.)

а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется?

б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?

в) Какова вероятность того, что хватит именно $n$ повторений?

г) Найдите предел этой вероятности при $n \rightarrow \infty$.

Для решения задачи определим основные вероятности. В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных и, следовательно, $33 - 10 = 23$ согласные. Карточку после каждого вытаскивания возвращают, поэтому каждое вытаскивание (испытание) является независимым.

Пусть событие В — «вытащили гласную букву», а событие С — «вытащили согласную букву».

Вероятность вытащить гласную букву: $P(В) = \frac{10}{33}$.

Вероятность вытащить согласную букву: $P(С) = \frac{23}{33}$.

Процедура заканчивается, как только появляется гласная буква.

а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется?

Событие «никаких повторений не потребуется» означает, что процедура закончится на первом же шаге. Это произойдет, если первая вытащенная буква окажется гласной.

Вероятность этого события равна вероятности вытащить гласную букву:

$P_1 = P(В) = \frac{10}{33}$

Ответ: $\frac{10}{33}$.

б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?

Событие «хватит двух повторений» означает, что процедура завершится не позднее, чем после двух повторений. Это соответствует 1-му, 2-му или 3-му вытаскиванию.

• Процедура завершится на 1-м шаге, если будет вытащена гласная (В). Вероятность: $P(В) = \frac{10}{33}$.
• Процедура завершится на 2-м шаге, если сначала будет вытащена согласная, а затем гласная (СВ). Вероятность: $P(С) \cdot P(В) = \frac{23}{33} \cdot \frac{10}{33}$.
• Процедура завершится на 3-м шаге, если сначала будут вытащены две согласные, а затем гласная (ССВ). Вероятность: $P(С)^2 \cdot P(В) = \left(\frac{23}{33}\right)^2 \cdot \frac{10}{33}$.

Так как эти события несовместны, общая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P = \frac{10}{33} + \frac{23}{33} \cdot \frac{10}{33} + \left(\frac{23}{33}\right)^2 \cdot \frac{10}{33} = \frac{10}{33} \left(1 + \frac{23}{33} + \left(\frac{23}{33}\right)^2\right)$

Это сумма первых трех членов геометрической прогрессии. Проще рассчитать вероятность противоположного события: «процедура не завершится за три шага». Это произойдет, если все три раза будут вытащены согласные буквы (ССС). Вероятность этого $P(ССС) = P(С)^3 = \left(\frac{23}{33}\right)^3$.

Тогда искомая вероятность равна $1 - P(ССС)$:

$P = 1 - \left(\frac{23}{33}\right)^3 = 1 - \frac{23^3}{33^3} = 1 - \frac{12167}{35937} = \frac{35937 - 12167}{35937} = \frac{23770}{35937}$

Ответ: $\frac{23770}{35937}$.

в) Какова вероятность того, что хватит именно n повторений?

Событие «хватит именно n повторений» означает, что процедура завершится ровно на $(n+1)$-м шаге (первое вытаскивание + $n$ повторений). Это произойдет, если первые $n$ раз будут вытащены согласные буквы, а на $(n+1)$-й раз — гласная.

Последовательность исходов: С, С, ..., С (n раз), В.

Вероятность такого события, учитывая независимость испытаний, равна произведению вероятностей:

$P_n = \underbrace{P(С) \cdot P(С) \cdot \ldots \cdot P(С)}_{n \text{ раз}} \cdot P(В) = (P(С))^n \cdot P(В) = \left(\frac{23}{33}\right)^n \cdot \frac{10}{33}$

Ответ: $\left(\frac{23}{33}\right)^n \frac{10}{33}$.

г) Найдите предел этой вероятности при n > ?.

Требуется найти предел вероятности, найденной в пункте (в), при $n$, стремящемся к бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\frac{23}{33}\right)^n \cdot \frac{10}{33} \right]$

Так как основание степени $r = \frac{23}{33}$ удовлетворяет условию $0 < r < 1$, предел степенной функции $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$.

Следовательно, искомый предел равен:

$\lim_{n \to \infty} \left[ \left(\frac{23}{33}\right)^n \cdot \frac{10}{33} \right] = \frac{10}{33} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{23}{33}\right)^n = \frac{10}{33} \cdot 0 = 0$

Это означает, что вероятность того, что для появления гласной буквы потребуется бесконечно большое число попыток, равна нулю.

Ответ: 0.