Номер 49.24, страница 301, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.24. Решите задачу 49.23 для четырёх бросаний монеты.

Поскольку задача 49.23, по всей видимости, рассматривает различные исходы при бросании трёх монет, решим аналогичную задачу для четырех монет. Пусть О - выпадение орла, а Р - выпадение решки.

При бросании четырех симметричных монет общее число равновозможных исходов равно $N = 2^4 = 16$. Это все возможные комбинации орлов и решек от ОООО до РРРР.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $N$ - общее число исходов. Число благоприятных исходов для выпадения $k$ орлов в $n$ бросках можно найти по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$.

а) Вероятность того, что не выпадет ни одного орла
Это событие означает, что все четыре раза выпала решка (РРРР). Такой исход только один, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.
С помощью формулы сочетаний: $m = C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = 1$.
Вероятность этого события: $P_0 = \frac{m}{N} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) Вероятность того, что выпадет ровно один орёл
Это событие означает, что выпал один орёл и три решки. Орёл может появиться на любом из четырех мест (ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО).
Число благоприятных исходов $m = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Вероятность этого события: $P_1 = \frac{m}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) Вероятность того, что выпадет ровно два орла
Это событие означает, что выпало два орла и две решки. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 2 позиции для орлов из 4 возможных.
Число благоприятных исходов $m = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
(Исходы: ООРР, ОРОР, ОРРО, РООP, РОРО, РРОО).
Вероятность этого события: $P_2 = \frac{m}{N} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

г) Вероятность того, что выпадет ровно три орла
Это событие означает, что выпало три орла и одна решка. Это симметрично случаю с одним орлом.
Число благоприятных исходов $m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
(Исходы: ОООP, ООРO, ОРОО, РООО).
Вероятность этого события: $P_3 = \frac{m}{N} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

д) Вероятность того, что выпадет четыре орла
Это событие означает, что все четыре раза выпал орёл (ОООО). Такой исход только один.
Число благоприятных исходов $m = C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$.
Вероятность этого события: $P_4 = \frac{m}{N} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.