Номер 49.21, страница 300, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.21. В тёмном ящике 8 белых и 7 чёрных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что:

a) все шары белые;

б) имеется, как минимум, три белых шара;

в) имеется, как минимум, два чёрных шара;

г) есть хотя бы один белый шар.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. В данном случае исходы — это сочетания шаров.

Всего в ящике $8 + 7 = 15$ шаров. Мы вытаскиваем 4 шара.

Общее число способов выбрать 4 шара из 15 равно числу сочетаний из 15 по 4:

$n = C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365$.

Таким образом, общее число исходов $n = 1365$.

а) все шары белые;

Для наступления этого события необходимо выбрать 4 белых шара из 8 имеющихся. Число способов сделать это (число благоприятных исходов) равно:

$m_a = C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.

Вероятность того, что все 4 шара будут белыми, равна:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{70}{1365}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 35:

$P(a) = \frac{70 \div 35}{1365 \div 35} = \frac{2}{39}$.

Ответ: $\frac{2}{39}$.

б) имеется, как минимум, три белых шара;

Событие "как минимум, три белых шара" означает, что было выбрано либо 3 белых шара, либо 4 белых шара. Это два несовместных события, поэтому мы можем сложить число их исходов.

1. Случай, когда выбрано 3 белых шара и 1 чёрный шар. Число способов:

$C_8^3 \cdot C_7^1 = \left(\frac{8!}{3!5!}\right) \cdot \left(\frac{7!}{1!6!}\right) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 7 = 56 \cdot 7 = 392$.

2. Случай, когда выбрано 4 белых шара и 0 чёрных шаров (рассчитано в пункте а):

$C_8^4 \cdot C_7^0 = 70 \cdot 1 = 70$.

Общее число благоприятных исходов: $m_б = 392 + 70 = 462$.

Вероятность события:

$P(б) = \frac{m_б}{n} = \frac{462}{1365}$.

Сократим дробь на 21:

$P(б) = \frac{462 \div 21}{1365 \div 21} = \frac{22}{65}$.

Ответ: $\frac{22}{65}$.

в) имеется, как минимум, два чёрных шара;

Событие "как минимум, два чёрных шара" означает, что выбрано 2, 3 или 4 чёрных шара. Рассмотрим все эти несовместные случаи.

1. Выбрано 2 чёрных шара и 2 белых шара:

$C_7^2 \cdot C_8^2 = \left(\frac{7 \cdot 6}{2}\right) \cdot \left(\frac{8 \cdot 7}{2}\right) = 21 \cdot 28 = 588$.

2. Выбрано 3 чёрных шара и 1 белый шар:

$C_7^3 \cdot C_8^1 = \left(\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\right) \cdot 8 = 35 \cdot 8 = 280$.

3. Выбрано 4 чёрных шара и 0 белых шаров:

$C_7^4 \cdot C_8^0 = C_7^3 \cdot 1 = 35$.

Общее число благоприятных исходов: $m_в = 588 + 280 + 35 = 903$.

Вероятность события:

$P(в) = \frac{m_в}{n} = \frac{903}{1365}$.

Сократим дробь на 21:

$P(в) = \frac{903 \div 21}{1365 \div 21} = \frac{43}{65}$.

Ответ: $\frac{43}{65}$.

г) есть хотя бы один белый шар.

Событие "есть хотя бы один белый шар" является противоположным (дополнительным) событию "все шары чёрные". Вероятность искомого события $P(A)$ можно найти по формуле $P(A) = 1 - P(A')$, где $A'$ — противоположное событие.

Найдём вероятность события $A'$ = "все 4 выбранных шара - чёрные".

Число способов выбрать 4 чёрных шара из 7:

$m_{A'} = C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Вероятность события $A'$:

$P(A') = \frac{m_{A'}}{n} = \frac{35}{1365} = \frac{1}{39}$.

Следовательно, вероятность того, что будет хотя бы один белый шар, равна:

$P(г) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{39} = \frac{38}{39}$.

Ответ: $\frac{38}{39}$.