Номер 49.20, страница 300, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.20. В тёмном ящике 6 билетов, из которых $n$ билетов выигрышных и $6 - n$ проигрышных, $n = 0, 1, 2, 3, \dots, 6$. Вы случайно вытаскиваете одновременно 2 билета. Найдите вероятность $p(n)$ того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $p = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Событие, вероятность $p(n)$ которого мы ищем, заключается в том, что из двух случайно вытащенных билетов ровно один окажется выигрышным. Это значит, что второй билет должен быть проигрышным.

1. Общее число исходов (N)
Всего в ящике 6 билетов. Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 билета из 6. Поскольку порядок выбора не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний: $C_k^m = \frac{m!}{k!(m-k)!}$.
В нашем случае $m=6$ (всего билетов) и $k=2$ (вытаскиваем билетов).$N = C_2^6 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
Таким образом, существует 15 различных способов вытащить 2 билета из 6.

2. Число благоприятных исходов (M)
Число благоприятных исходов зависит от количества выигрышных билетов $n$. В ящике находится $n$ выигрышных и $6-n$ проигрышных билетов.
Чтобы исход был благоприятным, нам нужно вытащить 1 выигрышный билет и 1 проигрышный билет.
Количество способов выбрать 1 выигрышный билет из $n$: $C_1^n = n$.
Количество способов выбрать 1 проигрышный билет из $6-n$: $C_1^{6-n} = 6-n$.
По правилу умножения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов $M(n)$ равно произведению этих способов:
$M(n) = C_1^n \times C_1^{6-n} = n \cdot (6-n)$.

3. Вероятность p(n)
Теперь мы можем найти вероятность $p(n)$ как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$p(n) = \frac{M(n)}{N} = \frac{n(6-n)}{15}$.

Рассчитаем значения $p(n)$ для каждого $n$ от 0 до 6.

n=0
В ящике 0 выигрышных и 6 проигрышных билетов. Невозможно вытащить выигрышный билет.
$p(0) = \frac{0 \cdot (6-0)}{15} = \frac{0}{15} = 0$.
Ответ: $p(0) = 0$.

n=1
В ящике 1 выигрышный и 5 проигрышных билетов.
$p(1) = \frac{1 \cdot (6-1)}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $p(1) = \frac{1}{3}$.

n=2
В ящике 2 выигрышных и 4 проигрышных билета.
$p(2) = \frac{2 \cdot (6-2)}{15} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $p(2) = \frac{8}{15}$.

n=3
В ящике 3 выигрышных и 3 проигрышных билета.
$p(3) = \frac{3 \cdot (6-3)}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $p(3) = \frac{3}{5}$.

n=4
В ящике 4 выигрышных и 2 проигрышных билета.
$p(4) = \frac{4 \cdot (6-4)}{15} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $p(4) = \frac{8}{15}$.

n=5
В ящике 5 выигрышных и 1 проигрышный билет.
$p(5) = \frac{5 \cdot (6-5)}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $p(5) = \frac{1}{3}$.

n=6
В ящике 6 выигрышных и 0 проигрышных билетов. Невозможно вытащить проигрышный билет.
$p(6) = \frac{6 \cdot (6-6)}{15} = \frac{0}{15} = 0$.
Ответ: $p(6) = 0$.

Итоговая таблица с численными результатами: