Номер 49.17, страница 300, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.17. В тёмном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета.

Найдите вероятность того, что:

а) все билеты выигрышные;

б) есть ровно один проигрышный билет;

в) есть ровно два выигрышных билета;

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу классической вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — это общее число всех возможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число способов вытащить 3 билета из 9 имеющихся ($5$ выигрышных + $4$ проигрышных). Это число сочетаний из 9 по 3.

$n = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.

Итак, общее число возможных исходов равно 84.

а) все билеты выигрышные;

Найдем число способов вытащить 3 выигрышных билета из 5 имеющихся выигрышных. Это будет число благоприятствующих исходов $m_a$.

$m_a = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Вероятность того, что все 3 билета выигрышные, равна:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$.

Ответ: $\frac{5}{42}$

б) есть ровно один проигрышный билет;

Если вытащен ровно один проигрышный билет, то остальные два билета должны быть выигрышными. Число способов выбрать 1 проигрышный билет из 4: $C_4^1 = 4$. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 5: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Общее число благоприятствующих исходов $m_b$ найдем по правилу произведения:

$m_b = C_4^1 \times C_5^2 = 4 \times 10 = 40$.

Вероятность этого события:

$P(б) = \frac{m_b}{n} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.

Ответ: $\frac{10}{21}$

в) есть ровно два выигрышных билета;

Это событие идентично событию из пункта б). Если вытащено ровно два выигрышных билета, то третий билет обязательно будет проигрышным. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 5: $C_5^2 = 10$. Число способов выбрать 1 проигрышный билет из 4: $C_4^1 = 4$.

Число благоприятствующих исходов $m_в$:

$m_в = C_5^2 \times C_4^1 = 10 \times 4 = 40$.

Вероятность этого события:

$P(в) = \frac{m_в}{n} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.

Ответ: $\frac{10}{21}$

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Событие "есть хотя бы один выигрышный билет" является противоположным событию "нет ни одного выигрышного билета" (т.е. все 3 билета проигрышные). Найдем вероятность противоположного события $P'$ и вычтем ее из 1.

Число способов выбрать 3 проигрышных билета из 4:

$m' = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.

Вероятность вытащить 3 проигрышных билета:

$P' = \frac{m'}{n} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$.

Тогда вероятность того, что есть хотя бы один выигрышный билет, равна:

$P(г) = 1 - P' = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$.

Ответ: $\frac{20}{21}$