Номер 49.10, страница 298, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.10. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.

а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?

б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?

в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?

г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.

а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $A$ – это множество задач, решенных первым учеником, а $B$ – множество задач, решенных вторым учеником. Общее количество задач в списке – это мощность универсального множества $U$.

Из условия задачи нам известно:

• Общее число задач в списке: $|U| = 50$.
• Число задач, решенных первым учеником: $|A| = 44$.
• Число задач, решенных вторым учеником: $|B| = 26$.

Условие "каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил" означает, что объединение множеств $A$ и $B$ равно всему списку задач. Математически это записывается как $|A \cup B| = 50$.

Нам нужно найти количество задач, которые были решены обоими учениками, то есть мощность пересечения множеств $A$ и $B$, обозначаемую как $|A \cap B|$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставим известные значения в формулу:

$50 = 44 + 26 - |A \cap B|$

$50 = 70 - |A \cap B|$

Отсюда найдем $|A \cap B|$:

$|A \cap B| = 70 - 50 = 20$

Таким образом, 20 задач были решены обоими учениками.

Ответ: 20 задач.

б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?

Нам нужно найти количество задач, которые решил только первый ученик. Это соответствует разности множеств $A$ и $B$, то есть $|A \setminus B|$.

Чтобы найти это значение, нужно из общего числа задач, решенных первым учеником, вычесть количество задач, решенных обоими учениками (найденное в пункте а).

$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$

Подставляем известные значения:

$|A \setminus B| = 44 - 20 = 24$

Следовательно, 24 задачи были решены только первым учеником.

Ответ: 24 задачи.

в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?

Здесь нам нужно найти количество задач, которые решил только второй ученик. Это соответствует разности множеств $B$ и $A$, то есть $|B \setminus A|$.

Для этого из общего числа задач, решенных вторым учеником, вычтем количество задач, решенных обоими.

$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$

Подставляем известные значения:

$|B \setminus A| = 26 - 20 = 6$

Следовательно, 6 задач были решены только вторым учеником.

Ответ: 6 задач.

г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.

Нам нужно найти новое общее число задач, обозначим его $N$, при котором количество задач, решенных обоими учениками, будет равно количеству задач, решенных только первым учеником.

Математически это условие записывается как $|A \cap B| = |A \setminus B|$.

Общее число задач, решенных первым учеником, $|A|$, складывается из задач, которые он решил один ($|A \setminus B|$), и задач, которые он решил вместе со вторым учеником ($|A \cap B|$):

$|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$

Поскольку по новому условию $|A \cap B| = |A \setminus B|$, мы можем записать:

$|A| = |A \cap B| + |A \cap B| = 2 \cdot |A \cap B|$

Так как $|A| = 44$ (это значение из условия не меняется), найдем $|A \cap B|$:

$44 = 2 \cdot |A \cap B|$

$|A \cap B| = 44 / 2 = 22$

Теперь, зная новое значение для пересечения множеств, мы можем найти новое общее число задач $N = |A \cup B|$ по формуле включений-исключений:

$N = |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставляем значения $|A| = 44$, $|B| = 26$ и новое значение $|A \cap B| = 22$:

$N = 44 + 26 - 22 = 70 - 22 = 48$

Таким образом, если бы в списке было 48 задач, то ответы в пунктах а) и б) были бы одинаковы и равны 22.

Ответ: Общее число задач в условии нужно изменить на 48.