Номер 49.3, страница 297, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.3. Два ученика независимо друг от друга написали по одному двузначному натуральному числу. Найдите вероятность того, что:

а) эти два числа различны между собой;

б) сумма чисел равна 100;

в) сумма чисел не больше 25;

г) сумма чисел больше 190.

Сначала определим общее число возможных исходов. Двузначные натуральные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Количество таких чисел равно $99 - 10 + 1 = 90$. Поскольку два ученика пишут числа независимо друг от друга, общее число элементарных исходов (пар чисел), обозначим его $N$, равно произведению числа вариантов для каждого ученика: $N = 90 \times 90 = 8100$. Это общее число всех возможных пар чисел, которые могут написать ученики.

а) эти два числа различны между собой;

Пусть событие A заключается в том, что ученики написали различные числа. Удобнее найти вероятность противоположного события A', которое состоит в том, что ученики написали одинаковые числа. Количество благоприятных исходов для события A' (когда числа совпадают) равно количеству двузначных чисел, так как возможны пары (10,10), (11,11), ..., (99,99). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию A', равно $m_{A'} = 90$. Вероятность события A' равна: $P(A') = \frac{m_{A'}}{N} = \frac{90}{8100} = \frac{1}{90}$. События A и A' являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Вероятность события A можно найти как: $P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{90} = \frac{89}{90}$.
Ответ: $\frac{89}{90}$

б) сумма чисел равна 100;

Пусть событие B заключается в том, что сумма написанных чисел $x$ и $y$ равна 100, то есть $x + y = 100$. Оба числа $x$ и $y$ должны быть двузначными, то есть $10 \le x \le 99$ и $10 \le y \le 99$. Выразим $y$ через $x$: $y = 100 - x$. Подставим это в неравенство для $y$: $10 \le 100 - x \le 99$. Решим это двойное неравенство относительно $x$: 1) $10 \le 100 - x \implies x \le 100 - 10 \implies x \le 90$. 2) $100 - x \le 99 \implies x \ge 100 - 99 \implies x \ge 1$. Учитывая, что $x$ — двузначное число ($10 \le x \le 99$), получаем, что $x$ может принимать любое целое значение от 10 до 90 включительно. Количество таких значений для $x$ равно $90 - 10 + 1 = 81$. Каждому такому значению $x$ соответствует единственное значение $y$, которое также будет двузначным. Следовательно, количество благоприятных исходов $m_B = 81$. Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{81}{8100} = \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{100}$

в) сумма чисел не больше 25;

Пусть событие C заключается в том, что сумма чисел $x + y \le 25$. Так как $x$ и $y$ — двузначные числа, то $x \ge 10$ и $y \ge 10$. Минимальная возможная сумма равна $10 + 10 = 20$. Следовательно, нам нужно найти количество пар $(x, y)$, для которых $10 \le x, y \le 99$ и $20 \le x + y \le 25$. Перечислим все возможные пары, систематически перебирая значения $x$:
- Если $x = 10$, то $10 + y \le 25 \implies y \le 15$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12, 13, 14, 15 (6 пар).
- Если $x = 11$, то $11 + y \le 25 \implies y \le 14$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12, 13, 14 (5 пар).
- Если $x = 12$, то $12 + y \le 25 \implies y \le 13$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12, 13 (4 пары).
- Если $x = 13$, то $13 + y \le 25 \implies y \le 12$. Возможные значения для $y$: 10, 11, 12 (3 пары).
- Если $x = 14$, то $14 + y \le 25 \implies y \le 11$. Возможные значения для $y$: 10, 11 (2 пары).
- Если $x = 15$, то $15 + y \le 25 \implies y \le 10$. Возможное значение для $y$: 10 (1 пара).
Если $x > 15$, то минимальная сумма $x+y$ будет больше $15+10 = 25$, что не удовлетворяет условию. Общее количество благоприятных исходов $m_C$ равно сумме найденных пар: $m_C = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$. Вероятность события C равна: $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{21}{8100} = \frac{7}{2700}$.
Ответ: $\frac{7}{2700}$

г) сумма чисел больше 190.

Пусть событие D заключается в том, что сумма чисел $x + y > 190$. Максимальное значение для $x$ и $y$ равно 99, соответственно, максимальная сумма равна $99 + 99 = 198$. Найдем количество пар $(x, y)$, удовлетворяющих условию. Условие можно переписать как $y > 190 - x$. Перечислим возможные пары, начиная с наибольших возможных значений $x$:
- Если $x = 99$, то $y > 190 - 99 = 91$. Возможные $y$: 92, 93, ..., 99 (8 пар).
- Если $x = 98$, то $y > 190 - 98 = 92$. Возможные $y$: 93, 94, ..., 99 (7 пар).
- Если $x = 97$, то $y > 190 - 97 = 93$. Возможные $y$: 94, 95, ..., 99 (6 пар).
- Если $x = 96$, то $y > 190 - 96 = 94$. Возможные $y$: 95, 96, ..., 99 (5 пар).
- Если $x = 95$, то $y > 190 - 95 = 95$. Возможные $y$: 96, 97, 98, 99 (4 пары).
- Если $x = 94$, то $y > 190 - 94 = 96$. Возможные $y$: 97, 98, 99 (3 пары).
- Если $x = 93$, то $y > 190 - 93 = 97$. Возможные $y$: 98, 99 (2 пары).
- Если $x = 92$, то $y > 190 - 92 = 98$. Возможный $y$: 99 (1 пара).
Если $x < 92$, например $x=91$, то $y > 190-91=99$, что невозможно, так как $y \le 99$. Общее количество благоприятных исходов $m_D$ равно сумме найденных пар: $m_D = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$. Вероятность события D равна: $P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{36}{8100} = \frac{4}{900} = \frac{1}{225}$.
Ответ: $\frac{1}{225}$