Номер 49.2, страница 297, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.2. Случайным образом выбирают нечётное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что:

а) его квадрат меньше 1000;

б) его квадрат больше 9000;

в) сумма квадратов его цифр больше 140;

г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Для решения задачи сначала определим общее количество элементарных исходов. Нам нужно найти количество нечётных двузначных натуральных чисел.

Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99. Их общее количество: $99 - 10 + 1 = 90$.

Нечётные числа — это те, которые оканчиваются на нечётную цифру (1, 3, 5, 7, 9). В каждом десятке (10–19, 20–29, ..., 90–99) содержится ровно 5 нечётных чисел. Так как всего 9 таких десятков, то общее количество нечётных двузначных чисел равно $N = 9 \times 5 = 45$. Это общее число равновероятных исходов.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) его квадрат меньше 1000;

Пусть $x$ — случайно выбранное нечётное двузначное число. Найдём вероятность события, при котором $x^2 < 1000$. Это неравенство эквивалентно $x < \sqrt{1000}$.

Поскольку $31^2 = 961$ и $32^2 = 1024$, то $\sqrt{1000} \approx 31.6$.

Следовательно, нам необходимо найти количество нечётных двузначных чисел $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 31$.

Перечислим эти числа: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31.

Число благоприятствующих исходов $m_а = 11$.

Вероятность данного события: $P(а) = \frac{m_а}{N} = \frac{11}{45}$.

Ответ: $\frac{11}{45}$

б) его квадрат больше 9000;

Найдём вероятность события, при котором $x^2 > 9000$, что эквивалентно $x > \sqrt{9000}$.

Поскольку $94^2 = 8836$ и $95^2 = 9025$, то $\sqrt{9000} \approx 94.87$.

Нам необходимо найти количество нечётных двузначных чисел $x$, которые удовлетворяют условию $x \ge 95$.

Это числа: 95, 97, 99.

Число благоприятствующих исходов $m_б = 3$.

Вероятность данного события: $P(б) = \frac{m_б}{N} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$

в) сумма квадратов его цифр больше 140;

Пусть число представлено в виде $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$).

Нам нужно найти числа, удовлетворяющие условию $a^2 + b^2 > 140$. Проверим возможные комбинации цифр, начиная с наибольших.

Если $b=9$, то $b^2=81$. Неравенство принимает вид $a^2 + 81 > 140$, или $a^2 > 59$. Этому условию удовлетворяют $a=8$ ($8^2=64$) и $a=9$ ($9^2=81$). Получаем числа: 89, 99.

Если $b=7$, то $b^2=49$. Неравенство принимает вид $a^2 + 49 > 140$, или $a^2 > 91$. Таких цифр $a$ не существует, так как максимальное значение $a^2$ равно $9^2=81$.

Для меньших значений $b$ неравенство тем более не будет выполняться.

Таким образом, только два числа удовлетворяют условию: 89 и 99. Число благоприятствующих исходов $m_в = 2$.

Вероятность данного события: $P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{2}{45}$.

Ответ: $\frac{2}{45}$

г) сумма квадратов его цифр не больше 10.

Найдём числа вида $10a+b$, удовлетворяющие условию $a^2 + b^2 \le 10$, где $b$ — нечётное.

Проверим возможные значения для цифры десятков $a$:

Если $a=1$, то $1^2+b^2 \le 10 \implies b^2 \le 9$. Подходят нечётные $b=1$ и $b=3$. Получаем числа: 11, 13.

Если $a=2$, то $2^2+b^2 \le 10 \implies 4+b^2 \le 10 \implies b^2 \le 6$. Подходит нечётное $b=1$. Получаем число: 21.

Если $a=3$, то $3^2+b^2 \le 10 \implies 9+b^2 \le 10 \implies b^2 \le 1$. Подходит нечётное $b=1$. Получаем число: 31.

Если $a \ge 4$, то $a^2 \ge 16$, и неравенство $a^2+b^2 \le 10$ заведомо не выполняется, так как $b^2 \ge 1$.

Таким образом, условию удовлетворяют четыре числа: 11, 13, 21, 31. Число благоприятствующих исходов $m_г = 4$.

Вероятность данного события: $P(г) = \frac{m_г}{N} = \frac{4}{45}$.

Ответ: $\frac{4}{45}$