Номер 48.25, страница 296, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.25. У многочлена P найдите коэффициент при $x^3$:

а) $P(x) = (1 + 3x)^4;$

б) $P(x) = (3 - 2x)^5;$

в) $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4;$

г) $P(x) = (x^2 - x)^4 + \left(3 - \frac{x}{3}\right)^4.$

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в каждом из многочленов мы будем использовать формулу бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент.

В данном случае $a=1$, $b=3x$ и $n=4$. Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = \binom{4}{k} (1)^{4-k} (3x)^k = \binom{4}{k} \cdot 1 \cdot 3^k x^k = \binom{4}{k} 3^k x^k$

Нам нужен член разложения, содержащий $x^3$. Это означает, что степень $x$ должна быть равна 3, поэтому $k=3$.

Найдем коэффициент для $k=3$:

$\binom{4}{3} 3^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot 27 = \frac{4}{1} \cdot 27 = 4 \cdot 27 = 108$

Ответ: 108

Здесь $a=3$, $b=-2x$ и $n=5$. Общий член разложения:

$T_{k+1} = \binom{5}{k} (3)^{5-k} (-2x)^k = \binom{5}{k} 3^{5-k} (-2)^k x^k$

Для нахождения коэффициента при $x^3$ необходимо положить $k=3$.

Вычислим этот коэффициент:

$\binom{5}{3} 3^{5-3} (-2)^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot 3^2 \cdot (-8) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 9 \cdot (-8) = 10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720$

Ответ: -720

Чтобы найти искомый коэффициент, нужно найти коэффициенты при $x^3$ в разложениях $(x + 2)^5$ и $(2x + 1)^4$ по отдельности, а затем вычесть второй из первого.

1. Для $(x + 2)^5$: $a=x$, $b=2$, $n=5$. Общий член $T_{k+1} = \binom{5}{k} x^{5-k} 2^k$.

Нам нужен член с $x^3$, значит $5-k=3$, откуда $k=2$. Коэффициент равен:

$\binom{5}{2} 2^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$

2. Для $(2x + 1)^4$: $a=2x$, $b=1$, $n=4$. Общий член $T_{k+1} = \binom{4}{k} (2x)^{4-k} 1^k = \binom{4}{k} 2^{4-k} x^{4-k}$.

Нам нужен член с $x^3$, значит $4-k=3$, откуда $k=1$. Коэффициент равен:

$\binom{4}{1} 2^{4-1} = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$

3. Итоговый коэффициент равен разности найденных коэффициентов:

$40 - 32 = 8$

Ответ: 8

Искомый коэффициент равен сумме коэффициентов при $x^3$ в разложениях слагаемых $(x^2 - x)^4$ и $(3 - \frac{x}{3})^4$.

1. Для $(x^2 - x)^4$. Можно вынести $x$ за скобки: $(x(x-1))^4 = x^4(x-1)^4$. Так как всё разложение $(x-1)^4$ умножается на $x^4$, наименьшая степень переменной $x$ в итоговом многочлене будет 4. Следовательно, коэффициент при $x^3$ равен 0.

2. Для $(3 - \frac{x}{3})^4$: $a=3$, $b=-\frac{x}{3}$, $n=4$. Общий член $T_{k+1} = \binom{4}{k} 3^{4-k} (-\frac{x}{3})^k = \binom{4}{k} 3^{4-k} \frac{(-1)^k}{3^k} x^k = \binom{4}{k} (-1)^k 3^{4-2k} x^k$.

Нам нужен член с $x^3$, значит $k=3$. Коэффициент равен:

$\binom{4}{3} (-1)^3 3^{4-2\cdot3} = 4 \cdot (-1) \cdot 3^{-2} = -4 \cdot \frac{1}{9} = -\frac{4}{9}$

3. Итоговый коэффициент равен сумме найденных коэффициентов:

$0 + (-\frac{4}{9}) = -\frac{4}{9}$

Ответ: $-\frac{4}{9}$