Номер 48.23, страница 295, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.23. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно.

а) Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля.

б) Найдите сумму всех чисел в четвёртой строке треугольника Паскаля.

в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля.

г) Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$.

Сначала выпишем треугольник Паскаля до седьмой строки включительно. Будем считать, что нумерация строк начинается с нуля (верхняя строка — нулевая, $n=0$).

Теперь ответим на вопросы.

а) Третья строка (при нумерации с нуля, $n=3$) состоит из чисел 1, 3, 3, 1. Найдем их сумму:

$1 + 3 + 3 + 1 = 8$

Ответ: 8.

б) Четвёртая строка ($n=4$) состоит из чисел 1, 4, 6, 4, 1. Найдем их сумму:

$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$

Ответ: 16.

в) Седьмая строка ($n=7$) состоит из чисел 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Найдем их сумму:

$1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128$

Ответ: 128.

г) Докажем методом математической индукции, что сумма чисел в $n$-й строке треугольника Паскаля равна $2^n$. Обозначим сумму чисел в $n$-й строке как $S_n$. Элементы $n$-й строки являются биномиальными коэффициентами $\binom{n}{k}$, где $k$ изменяется от $0$ до $n$. Таким образом, нам нужно доказать, что $S_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ для всех целых $n \ge 0$.

1. База индукции

Проверим утверждение для $n=0$. Нулевая строка состоит из одного числа 1. Сумма $S_0 = \binom{0}{0} = 1$. По формуле получаем $2^0 = 1$. Утверждение верно.

2. Индукционное предположение

Предположим, что утверждение верно для некоторого целого неотрицательного числа $n=m$, то есть $S_m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$.

3. Индукционный шаг

Докажем, что утверждение верно для $n=m+1$. То есть, нам нужно показать, что $S_{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} = 2^{m+1}$.

Каждый элемент треугольника Паскаля (кроме крайних единиц) равен сумме двух вышестоящих элементов. Это свойство выражается тождеством Паскаля: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.

Распишем сумму для $S_{m+1}$:

$S_{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} = \binom{m+1}{0} + \sum_{k=1}^{m} \binom{m+1}{k} + \binom{m+1}{m+1}$

Мы знаем, что $\binom{m+1}{0} = 1 = \binom{m}{0}$ и $\binom{m+1}{m+1} = 1 = \binom{m}{m}$. Применим тождество Паскаля к членам суммы:

$S_{m+1} = \binom{m}{0} + \sum_{k=1}^{m} \left(\binom{m}{k-1} + \binom{m}{k}\right) + \binom{m}{m}$

Разобьем сумму на две и сгруппируем слагаемые:

$S_{m+1} = \left(\binom{m}{0} + \sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k}\right) + \left(\sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k-1} + \binom{m}{m}\right)$

Первая группа слагаемых в скобках — это в точности сумма всех элементов $m$-й строки:$\binom{m}{0} + \sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k} = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = S_m$.

Вторая группа слагаемых в скобках, если сделать замену индекса $j=k-1$ в сумме, также представляет собой сумму всех элементов $m$-й строки:$\sum_{k=1}^{m} \binom{m}{k-1} + \binom{m}{m} = \sum_{j=0}^{m-1} \binom{m}{j} + \binom{m}{m} = \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j} = S_m$.

Таким образом, мы получаем:

$S_{m+1} = S_m + S_m = 2S_m$

Используя наше индукционное предположение $S_m = 2^m$, находим:

$S_{m+1} = 2 \cdot 2^m = 2^{m+1}$

Индукционный шаг доказан.

Заключение

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, то по методу математической индукции формула $S_n=2^n$ верна для всех целых $n \ge 0$.

Ответ: Утверждение доказано.