Номер 48.28, страница 296, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.28. Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a+b)^n$ равна 1024.

а) Найдите $n$.

б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения.

в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a+b)^n$ равна 512.

а) Найдите n.

Формула разложения бинома Ньютона для $(a+b)^n$ имеет вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$,
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.
Сумму всех биномиальных коэффициентов можно найти, подставив в формулу $a=1$ и $b=1$:
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = (1+1)^n = 2^n$.
По условию задачи, эта сумма равна 1024. Следовательно, мы имеем уравнение:
$2^n = 1024$.
Поскольку $1024$ является степенью двойки, $1024 = 2^{10}$, мы можем заключить, что $n=10$.
Ответ: $n=10$.

б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения.

Из пункта а) мы знаем, что $n=10$. Биномиальные коэффициенты $C_n^k$ для фиксированного $n$ симметричны ($C_n^k = C_n^{n-k}$) и их значения возрастают от $k=0$ к середине, а затем убывают.
Поскольку $n=10$ является четным числом, наибольший коэффициент будет один, и он будет находиться в центре последовательности коэффициентов, то есть при $k = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Таким образом, нам нужно найти значение $C_{10}^5$.
$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7) = 252$.
Ответ: 252.

в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

Как было установлено в пункте б), для четного $n=10$ наибольший биномиальный коэффициент является единственным. Он соответствует значению $C_{10}^5$. Остальные коэффициенты, $C_{10}^k$ при $k \neq 5$, будут меньше.
Следовательно, в разложении есть только один член с наибольшим коэффициентом.
Ответ: 1.

г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения $(a+b)^n$ равна 512.

Теперь решим задачу для нового условия, где сумма коэффициентов равна 512.

Ответ на вопрос а):
Используем ту же формулу для суммы коэффициентов: $2^n$.
$2^n = 512$.
Так как $512 = 2^9$, то $n=9$.

Ответ на вопрос б):
При $n=9$ (нечетное число), наибольшее значение принимают два центральных коэффициента: $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ и $C_n^{\frac{n+1}{2}}$.
Для $n=9$ это будут $C_9^{\frac{9-1}{2}} = C_9^4$ и $C_9^{\frac{9+1}{2}} = C_9^5$.
В силу свойства симметрии, эти коэффициенты равны: $C_9^4 = C_9^5$. Вычислим их значение:
$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.
Наибольший биномиальный коэффициент равен 126.

Ответ на вопрос в):
Поскольку $n=9$ является нечетным, существует два равных наибольших коэффициента: $C_9^4=126$ и $C_9^5=126$. Они соответствуют двум разным членам разложения: $126a^5b^4$ и $126a^4b^5$.
Следовательно, в разложении есть два члена с наибольшим коэффициентом.

Ответ: а) $n=9$; б) 126; в) 2.