Номер 49.1, страница 297, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:

a) делится на 5;

б) делится на 13;

в) делится или на 15, или на 25;

г) не делится на 29.

Для решения задачи сначала определим общее количество двузначных натуральных чисел.Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно.Их общее количество $N$ можно найти по формуле: $N = 99 - 10 + 1 = 90$.Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов. В нашем случае $N=90$.

а) делится на 5;

Найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 5. Это числа: 10, 15, 20, ..., 95.Чтобы найти их количество, можно заметить, что это арифметическая прогрессия. Первый член $a_1=10$, последний $a_n=95$, разность $d=5$.Количество членов $m_a$ можно найти по формуле $a_n = a_1 + (m_a-1)d$:$95 = 10 + (m_a-1) \cdot 5$$85 = (m_a-1) \cdot 5$$17 = m_a-1$$m_a = 18$.Таким образом, есть 18 благоприятных исходов.Вероятность того, что выбранное число делится на 5, равна:$P(а) = \frac{m_a}{N} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) делится на 13;

Найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 13.Перечислим эти числа:$13 \cdot 1 = 13$;$13 \cdot 2 = 26$;$13 \cdot 3 = 39$;$13 \cdot 4 = 52$;$13 \cdot 5 = 65$;$13 \cdot 6 = 78$;$13 \cdot 7 = 91$.$13 \cdot 8 = 104$ (это уже трехзначное число).Всего таких чисел 7. Следовательно, число благоприятных исходов $m_б = 7$.Вероятность того, что выбранное число делится на 13, равна:$P(б) = \frac{m_б}{N} = \frac{7}{90}$.
Ответ: $\frac{7}{90}$

в) делится или на 15, или на 25;

Пусть событие A — «число делится на 15», а событие B — «число делится на 25». Нам нужно найти вероятность события $A \cup B$ (число делится на 15 или на 25).Для этого найдем общее число благоприятных исходов $m_в = m_A + m_B - m_{A \cap B}$, где $m_A$ - количество чисел, кратных 15, $m_B$ - количество чисел, кратных 25, а $m_{A \cap B}$ - количество чисел, кратных и 15, и 25.Найдем количество двузначных чисел, кратных 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Всего 6 чисел, значит $m_A = 6$.Найдем количество двузначных чисел, кратных 25: 25, 50, 75. Всего 3 числа, значит $m_B = 3$.Событие $A \cap B$ означает, что число делится и на 15, и на 25, то есть делится на их наименьшее общее кратное, НОК(15, 25).$15 = 3 \cdot 5$$25 = 5^2$НОК(15, 25) = $3 \cdot 5^2 = 75$.Единственное двузначное число, которое делится на 75, это само число 75. Значит, $m_{A \cap B} = 1$.Число благоприятных исходов для события «делится на 15 или на 25» равно:$m_в = m_A + m_B - m_{A \cap B} = 6 + 3 - 1 = 8$.Вероятность этого события:$P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$.
Ответ: $\frac{4}{45}$

г) не делится на 29.

Это событие является противоположным событию «число делится на 29».Пусть событие C — «число делится на 29». Тогда искомая вероятность $P(C') = 1 - P(C)$.Сначала найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 29.$29 \cdot 1 = 29$;$29 \cdot 2 = 58$;$29 \cdot 3 = 87$.$29 \cdot 4 = 116$ (трехзначное).Всего 3 таких числа. Число благоприятных исходов для события C равно $m_C = 3$.Вероятность события C:$P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.Тогда вероятность противоположного события (число не делится на 29) равна:$P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$.
Ответ: $\frac{29}{30}$