Номер 49.8, страница 298, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.8. Двузначное число составляют так. Его первая цифра получается в результате первого бросания игрального кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а вторая цифра — в результате второго бросания этого кубика. Найдите вероятность того, что это число:

а) состоит из разных цифр;

б) больше 20;

в) кратно 7;

г) простое.

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. Двузначное число составляется из двух цифр. Первая цифра (десятки) получается в результате первого броска игрального кубика, а вторая (единицы) — в результате второго. На каждой из 6 граней кубика — цифры от 1 до 6.
Количество вариантов для первой цифры: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Количество вариантов для второй цифры: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Общее число всех возможных двузначных чисел (исходов) равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $N = 6 \times 6 = 36$.
Вероятность любого события $A$ находится по классической формуле: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) состоит из разных цифр
Благоприятным исходом является число, у которого первая и вторая цифры не совпадают.
Подсчитаем количество таких чисел. Если первая цифра выбрана (6 способов), то для второй цифры остается 5 вариантов (любая, кроме той, что выпала первой).
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 6 \times 5 = 30$.
Можно рассуждать иначе: найдем количество чисел с одинаковыми цифрами. Это числа: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Всего 6 чисел. Тогда чисел с разными цифрами будет $36 - 6 = 30$.
Вероятность того, что число состоит из разных цифр, равна: $P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) больше 20
Благоприятным исходом является число, которое больше 20.
Если первая цифра (десятки) равна 1, то все возможные числа (11, 12, 13, 14, 15, 16) меньше или равны 20. Эти исходы нам не подходят.
Если первая цифра равна 2, 3, 4, 5 или 6, то любое составленное число будет больше 20.
Количество вариантов для первой цифры: 5 (2, 3, 4, 5, 6).
Для каждого из этих 5 вариантов первой цифры вторая цифра может быть любой из 6 возможных.
Число благоприятных исходов $m = 5 \times 6 = 30$.
Вероятность того, что число больше 20, равна: $P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

в) кратно 7
Благоприятным исходом является число, которое делится на 7 без остатка. Выпишем все такие числа в диапазоне от 11 до 66 (минимально и максимально возможные числа).
Кратные 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63.
Теперь проверим, какие из этих чисел можно составить с помощью кубика (т.е. обе цифры от 1 до 6):

• 14 - можно (1 и 4)
• 21 - можно (2 и 1)
• 28 - нельзя (цифры 8 нет)
• 35 - можно (3 и 5)
• 42 - можно (4 и 2)
• 49 - нельзя (цифры 9 нет)
• 56 - можно (5 и 6)
• 63 - можно (6 и 3)

Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность того, что число кратно 7, равна: $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

г) простое
Благоприятным исходом является простое число. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Перечислим все простые числа, которые можно составить из цифр от 1 до 6:

• Начинающиеся на 1: 11, 13.
• Начинающиеся на 2: 23.
• Начинающиеся на 3: 31.
• Начинающиеся на 4: 41, 43.
• Начинающиеся на 5: 53 (число 51 составное, $51 = 3 \times 17$).
• Начинающиеся на 6: 61.

Всего благоприятных исходов: 11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61.
Число благоприятных исходов $m = 8$.
Вероятность того, что число простое, равна: $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$