Номер 49.15, страница 299, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.15. Из чисел 0, 1, 2, ..., 9 выбирают одно. Рассматриваются события: $A$ — это чётное число; $B$ — это число больше 7; $C$ — это число кратно 3 и не равно 0; $D$ — это или 1, или 4, или 9. Опишите события:

а) $AB$;

б) $CD$;

в) $BC$;

г) $ABCD$.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какие числа соответствуют каждому из событий A, B, C и D. Мы выбираем число из множества $? = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

• Событие A (выбрано чётное число): $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
• Событие B (выбрано число больше 7): $B = \{8, 9\}$.
• Событие C (выбрано число, кратное 3 и не равное 0): $C = \{3, 6, 9\}$.
• Событие D (выбрано число 1, или 4, или 9): $D = \{1, 4, 9\}$.

Запись вида AB означает произведение (пересечение) событий A и B, то есть событие, состоящее в том, что происходят оба события A и B одновременно. Нам нужно найти множество чисел, удовлетворяющих условиям пересекаемых событий.

а) AB

Событие AB заключается в том, что выбранное число является чётным (событие A) и одновременно больше 7 (событие B). Для этого найдем пересечение множеств A и B.

$A \cap B = \{0, 2, 4, 6, 8\} \cap \{8, 9\} = \{8\}$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 8.

Ответ: выбрано число 8.

б) CD

Событие CD заключается в том, что выбранное число кратно 3 и не равно 0 (событие C) и одновременно является одним из чисел 1, 4 или 9 (событие D). Найдем пересечение множеств C и D.

$C \cap D = \{3, 6, 9\} \cap \{1, 4, 9\} = \{9\}$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 9.

Ответ: выбрано число 9.

в) BC

Событие BC заключается в том, что выбранное число больше 7 (событие B) и одновременно кратно 3 и не равно 0 (событие C). Найдем пересечение множеств B и C.

$B \cap C = \{8, 9\} \cap \{3, 6, 9\} = \{9\}$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 9.

Ответ: выбрано число 9.

г) ABCD

Событие ABCD заключается в том, что выбранное число удовлетворяет всем четырем условиям одновременно. Это значит, что нам нужно найти пересечение всех четырех множеств: $A \cap B \cap C \cap D$.

Мы можем найти это пересечение последовательно. Из пункта а) мы знаем, что $A \cap B = \{8\}$. Теперь найдем пересечение этого результата с множеством C:

$(A \cap B) \cap C = \{8\} \cap \{3, 6, 9\} = \emptyset$.

Поскольку пересечение множеств A, B и C является пустым множеством ($\emptyset$), это означает, что нет ни одного числа, которое бы удовлетворяло первым трем условиям одновременно. Следовательно, пересечение всех четырех множеств также будет пустым.

Событие ABCD является невозможным событием.

Ответ: невозможное событие (ни одно число не удовлетворяет всем условиям).