Номер 49.9, страница 298, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49.9. Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый.

а) Сколько учеников, которые и умны, и красивы?

б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы?

в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны?

г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.

а)

Для решения задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $К$ — это множество красивых учеников, а $У$ — множество умных учеников.
Из условия нам известно:
• Количество красивых учеников, $|К| = 22$.
• Количество умных учеников, $|У| = 18$.
• Всего учеников в классе 30. Поскольку каждый ученик либо умный, либо красивый, общее число учеников равно мощности объединения этих двух множеств: $|К \cup У| = 30$.

Нам необходимо найти количество учеников, которые являются и умными, и красивыми. Это соответствует нахождению мощности пересечения множеств $|К \cap У|$. Применим формулу включений-исключений: $|К \cup У| = |К| + |У| - |К \cap У|$

Выразим из этой формулы искомое значение $|К \cap У|$: $|К \cap У| = |К| + |У| - |К \cup У|$

Подставим известные значения в формулу: $|К \cap У| = 22 + 18 - 30 = 40 - 30 = 10$

Следовательно, в классе 10 учеников, которые и умны, и красивы.

Ответ: 10.

б)

Чтобы найти количество учеников, которые умны, но не красивы, нужно из общего числа умных учеников вычесть количество тех, кто является одновременно и умным, и красивым. Это соответствует нахождению мощности разности множеств $У \setminus К$.

Формула для вычисления: $|У \setminus К| = |У| - |У \cap К|$

Подставим известные значения (из пункта а) мы знаем, что $|У \cap К| = 10$): $|У \setminus К| = 18 - 10 = 8$

Таким образом, 8 учеников являются умными, но не красивыми.

Ответ: 8.

в)

Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти количество учеников, которые красивы, но не умны, нужно из общего числа красивых учеников вычесть тех, кто и умен, и красив. Это разность множеств $К \setminus У$.

Формула для вычисления: $|К \setminus У| = |К| - |К \cap У|$

Подставим известные значения: $|К \setminus У| = 22 - 10 = 12$

Таким образом, 12 учеников являются красивыми, но не умными.

Ответ: 12.

г)

Требуется найти такое новое общее число учеников в классе, которое мы обозначим как $N$, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.
• Ответ в пункте а) — это количество учеников, которые и умны, и красивы: $|К \cap У|$.
• Ответ в пункте в) — это количество учеников, которые красивы, но не умны: $|К \setminus У|$.

Число красивых, $|К| = 22$, и число умных, $|У| = 18$, остаются неизменными. Новое общее число учеников $N$ будет равно $|К \cup У|$. Выразим ответы для пунктов а) и в) через $N$.

Количество и умных, и красивых: $|К \cap У| = |К| + |У| - |К \cup У| = 22 + 18 - N = 40 - N$.

Количество красивых, но не умных: $|К \setminus У| = |К| - |К \cap У| = 22 - (40 - N) = 22 - 40 + N = N - 18$.

Теперь приравняем эти два выражения в соответствии с условием задачи: $40 - N = N - 18$

Решим полученное уравнение относительно $N$:
$40 + 18 = N + N$
$58 = 2N$
$N = \frac{58}{2} = 29$

Таким образом, если бы в классе было 29 учеников, ответы в пунктах а) и в) совпали бы.

Ответ: 29.