Страница 298, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

49.6. Из чисел, расположенных в пяти первых строчках треугольника Паскаля, случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число:

а) двузначно;

б) нечётно;

в) кратно трём;

г) не является простым числом.

Для решения задачи сначала выпишем числа, расположенные в пяти первых строчках треугольника Паскаля. Нумерация строчек в треугольнике Паскаля начинается с нулевой, поэтому мы рассматриваем строчки с 0-й по 4-ю. Вот эти строчки:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Полный набор чисел, из которого производится случайный выбор: {1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1}.

Общее число элементов (исходов) в этом наборе равно сумме количеств чисел в каждой строчке: $N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число возможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$. В нашем случае $N = 15$.

а) двузначно;

Ищем среди всех чисел {1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1} двузначные. Таких чисел в данном наборе нет, все числа являются однозначными. Следовательно, количество благоприятных исходов $m = 0$. Вероятность того, что выбранное число является двузначным, составляет: $P(\text{двузначно}) = \frac{0}{15} = 0$.

Ответ: $0$

б) нечётно;

Найдём количество нечётных чисел в наборе. Нечётными являются числа 1 и 3. Число 1 встречается 9 раз, а число 3 встречается 2 раза. Общее количество нечётных чисел (благоприятных исходов) равно $m = 9 + 2 = 11$. Вероятность того, что выбранное число нечётно, равна: $P(\text{нечётно}) = \frac{11}{15}$.

Ответ: $\frac{11}{15}$

в) кратно трём;

Найдём количество чисел, кратных трём. В нашем наборе это числа 3 и 6. Число 3 встречается 2 раза, а число 6 встречается 1 раз. Общее число благоприятных исходов $m = 2 + 1 = 3$. Вероятность того, что выбранное число кратно трём, равна: $P(\text{кратно трём}) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) не является простым числом.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. В нашем наборе уникальных чисел {1, 2, 3, 4, 6} простыми являются 2 и 3. Событие "число не является простым" означает, что нужно выбрать число, которое не является простым. Такими числами в нашем наборе являются 1 (по определению не является простым), 4 (составное) и 6 (составное). Подсчитаем их количество в исходном наборе: число 1 встречается 9 раз, число 4 — 2 раза, и число 6 — 1 раз. Общее число благоприятных исходов $m = 9 + 2 + 1 = 12$. Вероятность того, что выбранное число не является простым, равна: $P(\text{не простое}) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

49.7. В круге с центром в начале координат и радиусом $\pi$ случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что:

а) сумма координат этой точки больше 3;

б) произведение координат этой точки меньше 4;

в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{3}$;

г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами $(0; 2), (-2; -2), (1; -2).$

Для начала определим общее число исходов. Нам нужно найти все точки с целыми координатами $(x, y)$, которые лежат в круге с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \pi$.

Условие принадлежности точки кругу: $x^2 + y^2 \le R^2$. Поскольку $R = \pi \approx 3.14159$, то $R^2 = \pi^2 \approx 9.8696$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2 + y^2$ также является целым числом. Следовательно, условие можно записать как $x^2 + y^2 \le 9$.

Перечислим все возможные пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому неравенству:

• Если $x=0$, то $y^2 \le 9$, откуда $y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Это 7 точек.
• Если $x=\pm1$, то $1 + y^2 \le 9 \implies y^2 \le 8$, откуда $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Это $2 \times 5 = 10$ точек.
• Если $x=\pm2$, то $4 + y^2 \le 9 \implies y^2 \le 5$, откуда $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Это $2 \times 5 = 10$ точек.
• Если $x=\pm3$, то $9 + y^2 \le 9 \implies y^2 \le 0$, откуда $y=0$. Это $2 \times 1 = 2$ точки.

Суммарное количество точек (общее число элементарных исходов) $N = 7 + 10 + 10 + 2 = 29$.

Вероятность любого события $A$ будет вычисляться по формуле $P(A) = \frac{k}{N}$, где $k$ — число благоприятных исходов, а $N=29$.

а) сумма координат этой точки больше 3;
Нам нужно найти количество точек $(x, y)$ из нашего множества, для которых выполняется условие $x + y > 3$. Проверим точки с наибольшими положительными координатами:

• (3, 0): $3 + 0 = 3$. Не подходит.
• (2, 2): $2 + 2 = 4$. Подходит.
• (2, 1): $2 + 1 = 3$. Не подходит.
• (1, 2): $1 + 2 = 3$. Не подходит.

Все остальные точки из нашего множества имеют сумму координат, не превышающую 3. Таким образом, только одна точка (2, 2) удовлетворяет условию. Число благоприятных исходов $k_a = 1$. Вероятность: $P(a) = \frac{k_a}{N} = \frac{1}{29}$.
Ответ: $\frac{1}{29}$

б) произведение координат этой точки меньше 4;
Нам нужно найти количество точек $(x, y)$, для которых $x \cdot y < 4$. Проще найти количество точек, для которых условие не выполняется (т.е. $x \cdot y \ge 4$), и вычесть это число из общего количества точек. Проверим все 29 точек:

• (2, 2): $2 \cdot 2 = 4$. Условие $x \cdot y \ge 4$ выполняется.
• (-2, -2): $(-2) \cdot (-2) = 4$. Условие $x \cdot y \ge 4$ выполняется.

Для всех остальных точек произведение координат будет меньше 4 (например, для (2,1) произведение 2, для (1,2) произведение 2, для (3,0) произведение 0, для (-2,2) произведение -4 и т.д.). Таким образом, есть 2 точки, не удовлетворяющие условию. Число благоприятных исходов $k_б = N - 2 = 29 - 2 = 27$. Вероятность: $P(б) = \frac{k_б}{N} = \frac{27}{29}$.
Ответ: $\frac{27}{29}$

в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{3}$;
Условие принадлежности точки этому кругу: $x^2 + y^2 \le (\sqrt{3})^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 3$. Найдем все точки с целыми координатами, удовлетворяющие этому условию:

• Если $x=0$, то $y^2 \le 3 \implies y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (0, -1), (0, 0), (0, 1). (3 точки)
• Если $x=\pm1$, то $1 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 2 \implies y \in \{-1, 0, 1\}$. Точки: (1, -1), (1, 0), (1, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1). (6 точек)
• Если $|x| \ge 2$, то $x^2 \ge 4$, что больше 3, поэтому других решений нет.

Общее число благоприятных исходов $k_в = 3 + 6 = 9$. Вероятность: $P(в) = \frac{k_в}{N} = \frac{9}{29}$.
Ответ: $\frac{9}{29}$

г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами (0; 2), (-2; -2), (1; -2).
Обозначим вершины треугольника: A(0, 2), B(-2, -2), C(1, -2). Найдем количество точек, которые лежат внутри или на границе этого треугольника, а затем вычтем это число из общего количества точек (29). Уравнения прямых, образующих стороны треугольника:

• Сторона BC: $y = -2$, при $-2 \le x \le 1$.
• Сторона AB (через A(0,2) и B(-2,-2)): $y = 2x + 2$.
• Сторона AC (через A(0,2) и C(1,-2)): $y = -4x + 2$.

Точка $(x,y)$ находится внутри или на границе треугольника, если выполняются три условия: $y \ge -2$, $y \le 2x+2$ и $y \le -4x+2$. Переберем все 29 точек и найдем те, которые лежат внутри или на границе:

• При $y = -2$: (-2, -2), (-1, -2), (0, -2), (1, -2) — 4 точки на стороне BC.
• При $y = -1$: (-1, -1), (0, -1) — 2 точки.
• При $y = 0$: (-1, 0), (0, 0) — 2 точки.
• При $y = 1$: (0, 1) — 1 точка.
• При $y = 2$: (0, 2) — 1 точка (вершина A).

Всего точек внутри или на границе треугольника: $k_{внутри} = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10$. Число точек, лежащих вне треугольника (благоприятные исходы): $k_г = N - k_{внутри} = 29 - 10 = 19$. Вероятность: $P(г) = \frac{k_г}{N} = \frac{19}{29}$.
Ответ: $\frac{19}{29}$

49.8. Двузначное число составляют так. Его первая цифра получается в результате первого бросания игрального кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а вторая цифра — в результате второго бросания этого кубика. Найдите вероятность того, что это число:

а) состоит из разных цифр;

б) больше 20;

в) кратно 7;

г) простое.

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. Двузначное число составляется из двух цифр. Первая цифра (десятки) получается в результате первого броска игрального кубика, а вторая (единицы) — в результате второго. На каждой из 6 граней кубика — цифры от 1 до 6.
Количество вариантов для первой цифры: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Количество вариантов для второй цифры: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Общее число всех возможных двузначных чисел (исходов) равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $N = 6 \times 6 = 36$.
Вероятность любого события $A$ находится по классической формуле: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) состоит из разных цифр
Благоприятным исходом является число, у которого первая и вторая цифры не совпадают.
Подсчитаем количество таких чисел. Если первая цифра выбрана (6 способов), то для второй цифры остается 5 вариантов (любая, кроме той, что выпала первой).
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 6 \times 5 = 30$.
Можно рассуждать иначе: найдем количество чисел с одинаковыми цифрами. Это числа: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Всего 6 чисел. Тогда чисел с разными цифрами будет $36 - 6 = 30$.
Вероятность того, что число состоит из разных цифр, равна: $P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) больше 20
Благоприятным исходом является число, которое больше 20.
Если первая цифра (десятки) равна 1, то все возможные числа (11, 12, 13, 14, 15, 16) меньше или равны 20. Эти исходы нам не подходят.
Если первая цифра равна 2, 3, 4, 5 или 6, то любое составленное число будет больше 20.
Количество вариантов для первой цифры: 5 (2, 3, 4, 5, 6).
Для каждого из этих 5 вариантов первой цифры вторая цифра может быть любой из 6 возможных.
Число благоприятных исходов $m = 5 \times 6 = 30$.
Вероятность того, что число больше 20, равна: $P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

в) кратно 7
Благоприятным исходом является число, которое делится на 7 без остатка. Выпишем все такие числа в диапазоне от 11 до 66 (минимально и максимально возможные числа).
Кратные 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63.
Теперь проверим, какие из этих чисел можно составить с помощью кубика (т.е. обе цифры от 1 до 6):

• 14 - можно (1 и 4)
• 21 - можно (2 и 1)
• 28 - нельзя (цифры 8 нет)
• 35 - можно (3 и 5)
• 42 - можно (4 и 2)
• 49 - нельзя (цифры 9 нет)
• 56 - можно (5 и 6)
• 63 - можно (6 и 3)

Число благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность того, что число кратно 7, равна: $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

г) простое
Благоприятным исходом является простое число. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Перечислим все простые числа, которые можно составить из цифр от 1 до 6:

• Начинающиеся на 1: 11, 13.
• Начинающиеся на 2: 23.
• Начинающиеся на 3: 31.
• Начинающиеся на 4: 41, 43.
• Начинающиеся на 5: 53 (число 51 составное, $51 = 3 \times 17$).
• Начинающиеся на 6: 61.

Всего благоприятных исходов: 11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61.
Число благоприятных исходов $m = 8$.
Вероятность того, что число простое, равна: $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$

49.9. Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников, и каждый из них умный или красивый.

а) Сколько учеников, которые и умны, и красивы?

б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы?

в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны?

г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.

а)

Для решения задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $К$ — это множество красивых учеников, а $У$ — множество умных учеников.
Из условия нам известно:
• Количество красивых учеников, $|К| = 22$.
• Количество умных учеников, $|У| = 18$.
• Всего учеников в классе 30. Поскольку каждый ученик либо умный, либо красивый, общее число учеников равно мощности объединения этих двух множеств: $|К \cup У| = 30$.

Нам необходимо найти количество учеников, которые являются и умными, и красивыми. Это соответствует нахождению мощности пересечения множеств $|К \cap У|$. Применим формулу включений-исключений: $|К \cup У| = |К| + |У| - |К \cap У|$

Выразим из этой формулы искомое значение $|К \cap У|$: $|К \cap У| = |К| + |У| - |К \cup У|$

Подставим известные значения в формулу: $|К \cap У| = 22 + 18 - 30 = 40 - 30 = 10$

Следовательно, в классе 10 учеников, которые и умны, и красивы.

Ответ: 10.

б)

Чтобы найти количество учеников, которые умны, но не красивы, нужно из общего числа умных учеников вычесть количество тех, кто является одновременно и умным, и красивым. Это соответствует нахождению мощности разности множеств $У \setminus К$.

Формула для вычисления: $|У \setminus К| = |У| - |У \cap К|$

Подставим известные значения (из пункта а) мы знаем, что $|У \cap К| = 10$): $|У \setminus К| = 18 - 10 = 8$

Таким образом, 8 учеников являются умными, но не красивыми.

Ответ: 8.

в)

Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти количество учеников, которые красивы, но не умны, нужно из общего числа красивых учеников вычесть тех, кто и умен, и красив. Это разность множеств $К \setminus У$.

Формула для вычисления: $|К \setminus У| = |К| - |К \cap У|$

Подставим известные значения: $|К \setminus У| = 22 - 10 = 12$

Таким образом, 12 учеников являются красивыми, но не умными.

Ответ: 12.

г)

Требуется найти такое новое общее число учеников в классе, которое мы обозначим как $N$, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.
• Ответ в пункте а) — это количество учеников, которые и умны, и красивы: $|К \cap У|$.
• Ответ в пункте в) — это количество учеников, которые красивы, но не умны: $|К \setminus У|$.

Число красивых, $|К| = 22$, и число умных, $|У| = 18$, остаются неизменными. Новое общее число учеников $N$ будет равно $|К \cup У|$. Выразим ответы для пунктов а) и в) через $N$.

Количество и умных, и красивых: $|К \cap У| = |К| + |У| - |К \cup У| = 22 + 18 - N = 40 - N$.

Количество красивых, но не умных: $|К \setminus У| = |К| - |К \cap У| = 22 - (40 - N) = 22 - 40 + N = N - 18$.

Теперь приравняем эти два выражения в соответствии с условием задачи: $40 - N = N - 18$

Решим полученное уравнение относительно $N$:
$40 + 18 = N + N$
$58 = 2N$
$N = \frac{58}{2} = 29$

Таким образом, если бы в классе было 29 учеников, ответы в пунктах а) и в) совпали бы.

Ответ: 29.

49.10. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил.

а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?

б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?

в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?

г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.

а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $A$ – это множество задач, решенных первым учеником, а $B$ – множество задач, решенных вторым учеником. Общее количество задач в списке – это мощность универсального множества $U$.

Из условия задачи нам известно:

• Общее число задач в списке: $|U| = 50$.
• Число задач, решенных первым учеником: $|A| = 44$.
• Число задач, решенных вторым учеником: $|B| = 26$.

Условие "каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил" означает, что объединение множеств $A$ и $B$ равно всему списку задач. Математически это записывается как $|A \cup B| = 50$.

Нам нужно найти количество задач, которые были решены обоими учениками, то есть мощность пересечения множеств $A$ и $B$, обозначаемую как $|A \cap B|$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставим известные значения в формулу:

$50 = 44 + 26 - |A \cap B|$

$50 = 70 - |A \cap B|$

Отсюда найдем $|A \cap B|$:

$|A \cap B| = 70 - 50 = 20$

Таким образом, 20 задач были решены обоими учениками.

Ответ: 20 задач.

б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?

Нам нужно найти количество задач, которые решил только первый ученик. Это соответствует разности множеств $A$ и $B$, то есть $|A \setminus B|$.

Чтобы найти это значение, нужно из общего числа задач, решенных первым учеником, вычесть количество задач, решенных обоими учениками (найденное в пункте а).

$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$

Подставляем известные значения:

$|A \setminus B| = 44 - 20 = 24$

Следовательно, 24 задачи были решены только первым учеником.

Ответ: 24 задачи.

в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?

Здесь нам нужно найти количество задач, которые решил только второй ученик. Это соответствует разности множеств $B$ и $A$, то есть $|B \setminus A|$.

Для этого из общего числа задач, решенных вторым учеником, вычтем количество задач, решенных обоими.

$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$

Подставляем известные значения:

$|B \setminus A| = 26 - 20 = 6$

Следовательно, 6 задач были решены только вторым учеником.

Ответ: 6 задач.

г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.

Нам нужно найти новое общее число задач, обозначим его $N$, при котором количество задач, решенных обоими учениками, будет равно количеству задач, решенных только первым учеником.

Математически это условие записывается как $|A \cap B| = |A \setminus B|$.

Общее число задач, решенных первым учеником, $|A|$, складывается из задач, которые он решил один ($|A \setminus B|$), и задач, которые он решил вместе со вторым учеником ($|A \cap B|$):

$|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$

Поскольку по новому условию $|A \cap B| = |A \setminus B|$, мы можем записать:

$|A| = |A \cap B| + |A \cap B| = 2 \cdot |A \cap B|$

Так как $|A| = 44$ (это значение из условия не меняется), найдем $|A \cap B|$:

$44 = 2 \cdot |A \cap B|$

$|A \cap B| = 44 / 2 = 22$

Теперь, зная новое значение для пересечения множеств, мы можем найти новое общее число задач $N = |A \cup B|$ по формуле включений-исключений:

$N = |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставляем значения $|A| = 44$, $|B| = 26$ и новое значение $|A \cap B| = 22$:

$N = 44 + 26 - 22 = 70 - 22 = 48$

Таким образом, если бы в списке было 48 задач, то ответы в пунктах а) и б) были бы одинаковы и равны 22.

Ответ: Общее число задач в условии нужно изменить на 48.