Страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

48.5. a) $C_{17}^2;$

б) $C_{100}^2;$

В) $C_5^3;$

Г) $C_8^4.$

Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$, которое обозначается как $C_n^k$ (читается «C из n по k»), используется следующая формула:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

а) Вычислим $C_{17}^2$.
В данном случае $n=17$ и $k=2$.
Применяем формулу числа сочетаний:
$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2! \cdot 15!}$
Расписываем факториалы для сокращения: $17! = 15! \cdot 16 \cdot 17$ и $2! = 1 \cdot 2 = 2$.
$C_{17}^2 = \frac{15! \cdot 16 \cdot 17}{2 \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17}{2}$
Сокращаем 16 и 2:
$C_{17}^2 = 8 \cdot 17 = 136$
Ответ: 136

б) Вычислим $C_{100}^2$.
Здесь $n=100$ и $k=2$.
$C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100!}{2! \cdot 98!}$
Расписываем $100!$ как $98! \cdot 99 \cdot 100$:
$C_{100}^2 = \frac{98! \cdot 99 \cdot 100}{2 \cdot 98!} = \frac{99 \cdot 100}{2}$
Сокращаем 100 и 2:
$C_{100}^2 = 99 \cdot 50 = 4950$
Ответ: 4950

в) Вычислим $C_5^3$.
Здесь $n=5$ и $k=3$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$
Расписываем факториалы: $5! = 3! \cdot 4 \cdot 5$ и $2! = 1 \cdot 2 = 2$.
$C_5^3 = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Можно также воспользоваться свойством симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$.
Ответ: 10

г) Вычислим $C_8^4$.
Здесь $n=8$ и $k=4$.
$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}$
Расписываем больший факториал в числителе: $8! = 4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8$.
$C_8^4 = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{4!}$
Расписываем $4!$ в знаменателе: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
$C_8^4 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$
Производим сокращения в дроби: $2 \cdot 4 = 8$, поэтому можно сократить 8 в числителе с 2 и 4 в знаменателе. Также сокращаем 6 и 3.
$C_8^4 = \frac{5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 7 \cdot \frac{8}{4} = 5 \cdot 7 \cdot 2 = 70$
Ответ: 70

48.6. a) $A_{10}^{3}$;

б) $A_{8}^{5}$;

В) $A_{20}^{2}$;

Г) $A_{100}^{1}$.

a) Для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$ (размещения без повторений) используется формула: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Эта формула определяет количество способов, которыми можно выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов. В данном случае $n=10$ и $k=3$.

Подставим значения в формулу и выполним вычисления:

$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Ответ: 720

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для числа размещений $A_n^k$. Здесь $n=8$ и $k=5$.

Вычисляем:

$A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720$.

Ответ: 6720

в) Применяем ту же формулу для $n=20$ и $k=2$.

Вычисляем:

$A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \cdot 19 = 380$.

Ответ: 380

г) Используем формулу для $n=100$ и $k=1$.

Вычисляем:

$A_{100}^1 = \frac{100!}{(100-1)!} = \frac{100!}{99!} = 100$.

Ответ: 100

48.7. a) $C_{27}^2 - C_{26}^2$;

б) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$;

B) $C_{11}^5 + C_{11}^6$;

Г) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}$.

а) $C_{27}^2 - C_{26}^2$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сочетаний, известным как тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$.

Из этого свойства можно выразить разность: $C_n^k - C_{n-1}^k = C_{n-1}^{k-1}$.

В нашем случае $n=27$ и $k=2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$C_{27}^2 - C_{26}^2 = C_{26}^{2-1} = C_{26}^1$

Число сочетаний из $n$ по $1$ всегда равно $n$, поэтому:

$C_{26}^1 = 26$

Ответ: 26

б) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$

Для решения задачи используем формулу для числа размещений (перестановок): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала вычислим значение числителя $A_8^6$:

$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

Затем вычислим значение знаменателя $A_{10}^2$:

$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90$

Теперь разделим полученные значения:

$\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = \frac{20160}{90} = \frac{2016}{9} = 224$

Ответ: 224

в) $C_{11}^5 + C_{11}^6$

Для решения этой задачи снова воспользуемся тождеством Паскаля: $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

В данном случае $n=11$ и $k=5$. Применяя тождество, получаем:

$C_{11}^5 + C_{11}^6 = C_{11+1}^{5+1} = C_{12}^6$

Теперь вычислим значение $C_{12}^6$ по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим множители в числителе и знаменателе: $12$ в числителе сокращается с $6 \times 2$ в знаменателе; $10$ делится на $5$, получаем $2$; $9$ делится на $3$, получаем $3$; $8$ делится на $4$, получаем $2$. В итоге получаем:

$C_{12}^6 = 11 \times (10/5) \times (9/3) \times (8/4) \times 7 = 11 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 = 924$

Ответ: 924

г) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}$

Для решения этой задачи вспомним определения числа размещений $A_n^k$ и числа сочетаний $C_n^k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Из этих формул видно, что они связаны простым соотношением: $A_n^k = C_n^k \times k!$.

Разделив обе части этого равенства на $C_n^k$, получим искомую дробь:

$\frac{A_n^k}{C_n^k} = k!$

В нашем случае $k=3$. Таким образом:

$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Ответ: 6

48.8. Упростите выражение:

а) $ \frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} $,

б) $ \frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_{n+1}^n} $.

а)

Для упрощения выражения $\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}}$ воспользуемся определениями основных комбинаторных формул: числа перестановок, сочетаний и размещений.

1. Число перестановок из $n$ элементов $P_n$ определяется по формуле: $P_n = n!$.

2. Число сочетаний из $n+1$ по 3, $C_{n+1}^3$, определяется по формуле: $C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3!((n+1)-3)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$.

3. Число размещений из $n$ по $n-2$, $A_n^{n-2}$, определяется по формуле: $A_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-(n-2))!} = \frac{n!}{2!}$.

Теперь подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} = \frac{n! \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}}{\frac{n!}{2!}}$

Чтобы упростить это многоэтажное дробное выражение, заменим деление на умножение на обратную дробь:

$n! \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} \cdot \frac{2!}{n!}$

Сокращаем $n!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(n+1)! \cdot 2!}{3!(n-2)!}$

Теперь раскроем факториалы для дальнейшего сокращения. Заметим, что $3! = 3 \cdot 2!$ и $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$:

$\frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! \cdot 2!}{3 \cdot 2! \cdot (n-2)!}$

Сокращаем общие множители $(n-2)!$ и $2!$:

$\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$

Выражение имеет смысл при $n+1 \ge 3$, то есть $n \ge 2$.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$.

б)

Для упрощения выражения $\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_{n+1}^n}$ также воспользуемся определениями комбинаторных формул.

1. Число перестановок из $n+1$ элементов $P_{n+1}$: $P_{n+1} = (n+1)!$.

2. Число сочетаний из $n$ по $n-2$, $C_n^{n-2}$: $C_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!} = \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}$.

3. Число размещений из $n+1$ по $n$, $A_{n+1}^n$: $A_{n+1}^n = \frac{(n+1)!}{((n+1)-n)!} = \frac{(n+1)!}{1!} = (n+1)!$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_{n+1}^n} = \frac{(n+1)! \cdot \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}}{(n+1)!}$

Сокращаем одинаковые множители $(n+1)!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}$

Раскроем $n!$ как $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$ и учтем, что $2! = 2$:

$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)! \cdot 2}$

Сокращаем общий множитель $(n-2)!$:

$\frac{n(n-1)}{2}$

Заметим, что полученное выражение является также формулой для $C_n^2$. Это следует из свойства сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Выражение имеет смысл при $n \ge n-2$, то есть $n \ge 2$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.

48.9. Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше:

а) $C_{17}^3$ или $C_{18}^4$;

б) $C_{18}^4$ или $C_{19}^5$;

в) $C_{19}^5$ или $C_{18}^6$;

г) $C_n^7$ или $C_{n+1}^8$.

а) Чтобы сравнить числа $C_{17}^3$ и $C_{18}^4$, составим их частное. Рассмотрим отношение $\frac{C_{18}^4}{C_{17}^3}$.

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{18}^4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!}$

$C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17!}{3! \cdot 14!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{18}^4}{C_{17}^3} = \frac{\frac{18!}{4! \cdot 14!}}{\frac{17!}{3! \cdot 14!}} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} \cdot \frac{3! \cdot 14!}{17!} = \frac{18! \cdot 3!}{17! \cdot 4!}$

Используя свойства факториала $18! = 18 \cdot 17!$ и $4! = 4 \cdot 3!$, получаем:

$\frac{18 \cdot 17! \cdot 3!}{17! \cdot 4 \cdot 3!} = \frac{18}{4} = 4.5$

Поскольку отношение $\frac{C_{18}^4}{C_{17}^3} > 1$, то $C_{18}^4 > C_{17}^3$.

Ответ: $C_{18}^4 > C_{17}^3$.

б) Сравним числа $C_{18}^4$ и $C_{19}^5$. Составим их частное $\frac{C_{19}^5}{C_{18}^4}$.

По определению:

$C_{19}^5 = \frac{19!}{5!(19-5)!} = \frac{19!}{5! \cdot 14!}$

$C_{18}^4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{19}^5}{C_{18}^4} = \frac{\frac{19!}{5! \cdot 14!}}{\frac{18!}{4! \cdot 14!}} = \frac{19!}{5! \cdot 14!} \cdot \frac{4! \cdot 14!}{18!} = \frac{19! \cdot 4!}{18! \cdot 5!}$

Используя свойства факториала $19! = 19 \cdot 18!$ и $5! = 5 \cdot 4!$, получаем:

$\frac{19 \cdot 18! \cdot 4!}{18! \cdot 5 \cdot 4!} = \frac{19}{5} = 3.8$

Поскольку отношение $\frac{C_{19}^5}{C_{18}^4} > 1$, то $C_{19}^5 > C_{18}^4$.

Ответ: $C_{19}^5 > C_{18}^4$.

в) Сравним числа $C_{19}^5$ и $C_{18}^6$. Составим их частное, например, $\frac{C_{18}^6}{C_{19}^5}$.

По определению:

$C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18!}{6! \cdot 12!}$

$C_{19}^5 = \frac{19!}{5!(19-5)!} = \frac{19!}{5! \cdot 14!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{18}^6}{C_{19}^5} = \frac{\frac{18!}{6! \cdot 12!}}{\frac{19!}{5! \cdot 14!}} = \frac{18!}{6! \cdot 12!} \cdot \frac{5! \cdot 14!}{19!}$

Используя свойства факториала $19! = 19 \cdot 18!$, $6! = 6 \cdot 5!$ и $14! = 14 \cdot 13 \cdot 12!$, получаем:

$\frac{18! \cdot 5! \cdot (14 \cdot 13 \cdot 12!)}{(6 \cdot 5!) \cdot 12! \cdot (19 \cdot 18!)} = \frac{14 \cdot 13}{6 \cdot 19} = \frac{182}{114} = \frac{91}{57}$

Поскольку $\frac{91}{57} > 1$, то $C_{18}^6 > C_{19}^5$.

Ответ: $C_{18}^6 > C_{19}^5$.

г) Сравним числа $C_n^7$ и $C_{n+1}^8$.

Данные выражения определены при условии $n \ge 7$ и $n+1 \ge 8$, то есть для целых $n \ge 7$.

Составим частное $\frac{C_{n+1}^8}{C_n^7}$.

По определению:

$C_{n+1}^8 = \frac{(n+1)!}{8!(n+1-8)!} = \frac{(n+1)!}{8!(n-7)!}$

$C_n^7 = \frac{n!}{7!(n-7)!}$

Найдём их отношение:

$\frac{C_{n+1}^8}{C_n^7} = \frac{\frac{(n+1)!}{8!(n-7)!}}{\frac{n!}{7!(n-7)!}} = \frac{(n+1)!}{8!(n-7)!} \cdot \frac{7!(n-7)!}{n!} = \frac{(n+1)! \cdot 7!}{n! \cdot 8!}$

Используя свойства факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ и $8! = 8 \cdot 7!$, получаем:

$\frac{(n+1) \cdot n! \cdot 7!}{n! \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{n+1}{8}$

Результат сравнения зависит от значения $n$:

1. Если отношение $\frac{n+1}{8} > 1$, то есть $n+1 > 8 \implies n > 7$. В этом случае $C_{n+1}^8 > C_n^7$.

2. Если отношение $\frac{n+1}{8} = 1$, то есть $n+1 = 8 \implies n = 7$. В этом случае $C_{n+1}^8 = C_n^7$.

3. Если отношение $\frac{n+1}{8} < 1$, то есть $n+1 < 8 \implies n < 7$. Этот случай невозможен, так как мы рассматриваем $n \ge 7$.

Ответ: если $n=7$, то $C_n^7 = C_{n+1}^8$; если $n>7$, то $C_{n+1}^8 > C_n^7$.

Решите уравнение:

48.10. a) $C_x^3 = 2C_x^2;$

б) $C_x^{x-2} = 15;$

в) $C_x^2 + C_{x+1}^2 = 49;$

г) $C_8^x = 70.$

а) $C_x^3 = 2C_x^2$

Данное уравнение содержит число сочетаний. Воспользуемся формулой числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условиями существования сочетаний: $x$ должен быть целым числом, и должны выполняться неравенства $x \ge 3$ и $x \ge 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$, $x \in \mathbb{N}$.

Распишем левую и правую части уравнения по формуле:
$C_x^3 = \frac{x!}{3!(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{6 \cdot (x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим выражения в исходное уравнение:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 2 \cdot \frac{x(x-1)}{2}$
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = x(x-1)$

Согласно ОДЗ ($x \ge 3$), $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:
$\frac{x-2}{6} = 1$
$x-2 = 6$
$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 3$).
Ответ: 8.

б) $C_x^{x-2} = 15$

Используем свойство симметрии числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:
$C_x^2 = 15$

ОДЗ для $C_x^2$: $x$ - целое число и $x \ge 2$.
Распишем левую часть по формуле:
$\frac{x!}{2!(x-2)!} = 15$
$\frac{x(x-1)}{2} = 15$

Решим полученное уравнение:
$x(x-1) = 30$
$x^2 - x - 30 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию.
Ответ: 6.

в) $C_x^2 + C_{x+1}^2 = 49$

ОДЗ: $x \ge 2$ и $x+1 \ge 2 \implies x \ge 1$. Объединенное ОДЗ: $x \ge 2$, $x \in \mathbb{N}$.
Распишем каждое слагаемое по формуле:
$C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$
$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)x}{2}$

Подставим в уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} + \frac{x(x+1)}{2} = 49$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$x(x-1) + x(x+1) = 98$
$x^2 - x + x^2 + x = 98$
$2x^2 = 98$
$x^2 = 49$
$x = \pm 7$

Согласно ОДЗ ($x \ge 2$), подходит только корень $x=7$.
Ответ: 7.

г) $C_8^x = 70$

ОДЗ: $x$ - целое число, $0 \le x \le 8$.
Распишем левую часть по формуле:
$C_8^x = \frac{8!}{x!(8-x)!} = 70$

Поскольку $x$ является целым числом из небольшого диапазона, можно решить уравнение подбором.
$C_8^0 = 1$
$C_8^1 = 8$
$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Мы нашли, что при $x=4$ равенство выполняется.
Значения $C_n^k$ симметричны относительно $k=n/2$. В данном случае $C_8^x = C_8^{8-x}$. Для $x=4$ имеем $8-x=4$, так что это единственный максимум. Для всех других $x$ в ОДЗ значение $C_8^x$ будет меньше 70.
Ответ: 4.

48.11. a) $A_x^5 = 18A_{x-2}^4$;

б) $A_{x-1}^2 - C_x^1 = 79.$

а) $A_x^5 = 18A_{x-2}^4$

Данное уравнение содержит число размещений. Формула для числа размещений из $n$ по $k$ имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Для $A_x^5$ должно выполняться условие $x \geq 5$.
Для $A_{x-2}^4$ должно выполняться условие $x-2 \geq 4$, что означает $x \geq 6$.
Так как $x$ должен быть натуральным числом, общая ОДЗ: $x \in \mathbb{N}, x \geq 6$.

Используя формулу для числа размещений, распишем обе части уравнения:
$A_x^5 = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$A_{x-2}^4 = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 18 \cdot (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Поскольку согласно ОДЗ $x \geq 6$, множители $(x-2)$, $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на их произведение:
$x(x-1) = 18(x-5)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - x = 18x - 90$
$x^2 - 19x + 90 = 0$

Найдем корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 19, а их произведение равно 90. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и 10.
$x_1 = 9$, $x_2 = 10$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \geq 6$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \geq 6$.
Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 \geq 6$.
Следовательно, оба значения являются решениями уравнения.

Ответ: 9; 10.

б) $A_{x-1}^2 - C_x^1 = 79$

Данное уравнение содержит число размещений ($A_n^k$) и число сочетаний ($C_n^k$). Их формулы:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Для $A_{x-1}^2$ должно выполняться условие $x-1 \geq 2$, то есть $x \geq 3$.
Для $C_x^1$ должно выполняться условие $x \geq 1$.
Объединяя условия и учитывая, что $x$ - натуральное число, получаем ОДЗ: $x \in \mathbb{N}, x \geq 3$.

Распишем члены уравнения по формулам:
$A_{x-1}^2 = (x-1)((x-1)-1) = (x-1)(x-2)$
$C_x^1 = \frac{x!}{1!(x-1)!} = x$

Подставим выражения в уравнение:
$(x-1)(x-2) - x = 79$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - x + 2 - x = 79$
$x^2 - 4x + 2 = 79$
$x^2 - 4x - 77 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 = 18^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 18}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 18}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{4 + 18}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 3$).
Корень $x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он не является натуральным числом и меньше 3.
Корень $x_2 = 11$ удовлетворяет ОДЗ, так как $11 \geq 3$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: 11.

48.12. a) $C_x^3 = A_x^2$;

б) $C_x^4 = A_x^3$;

В) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3$;

Г) $0,5A_x^4 = 3(A_{x-1}^3 + C_{x-1}^3)$.

а) $C_x^3 = A_x^2$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условиями $x \geq 3$ (для $C_x^3$) и $x \geq 2$ (для $A_x^2$). Следовательно, $x$ должен быть целым числом, и $x \geq 3$.

Запишем уравнение, используя определения:

$\frac{x!}{3!(x-3)!} = \frac{x!}{(x-2)!}$

Распишем факториалы, чтобы упростить выражение:

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}$

$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = x(x-1)$

Так как из ОДЗ следует, что $x \geq 3$, то $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:

$\frac{x-2}{6} = 1$

$x-2 = 6$

$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \geq 3$).

Ответ: $x=8$.

б) $C_x^4 = A_x^3$

Определим ОДЗ: для $C_x^4$ требуется $x \geq 4$, для $A_x^3$ требуется $x \geq 3$. Объединяя условия, получаем, что $x$ - целое число и $x \geq 4$.

Запишем уравнение в развернутом виде:

$\frac{x!}{4!(x-4)!} = \frac{x!}{(x-3)!}$

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = x(x-1)(x-2)$

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24} = x(x-1)(x-2)$

Поскольку $x \geq 4$, то множитель $x(x-1)(x-2)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить:

$\frac{x-3}{24} = 1$

$x-3 = 24$

$x = 27$

Значение $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 \geq 4$).

Ответ: $x=27$.

в) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3$

ОДЗ для этого уравнения: $x \geq 4$ (для $C_x^4$), $x \geq 3$ (для $A_x^3$), $x \geq 3$ (для $C_x^3$). Следовательно, $x$ - целое число и $x \geq 4$.

Подставляем формулы в уравнение:

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24} = x(x-1)(x-2) + \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$

В ОДЗ ($x \geq 4$) выражение $x(x-1)(x-2)$ отлично от нуля, поэтому разделим обе части уравнения на него:

$\frac{x-3}{24} = 1 + \frac{1}{6}$

$\frac{x-3}{24} = \frac{7}{6}$

Умножим обе части на 24:

$x-3 = \frac{7}{6} \cdot 24$

$x-3 = 7 \cdot 4$

$x-3 = 28$

$x = 31$

Значение $x=31$ удовлетворяет ОДЗ ($31 \geq 4$).

Ответ: $x=31$.

г) $0,5A_x^4 = 3(A_{x-1}^3 + C_{x-1}^3)$

Определим ОДЗ. Для $A_x^4$ нужно $x \geq 4$. Для $A_{x-1}^3$ нужно $x-1 \geq 3 \implies x \geq 4$. Для $C_{x-1}^3$ нужно $x-1 \geq 3 \implies x \geq 4$. Итоговое ОДЗ: $x$ - целое число и $x \geq 4$.

Запишем уравнение, используя определения:

$0,5 \cdot x(x-1)(x-2)(x-3) = 3 \left( (x-1)(x-2)(x-3) + \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6} \right)$

Вынесем общий множитель $(x-1)(x-2)(x-3)$ в правой части:

$0,5 \cdot x(x-1)(x-2)(x-3) = 3 \cdot (x-1)(x-2)(x-3) \left( 1 + \frac{1}{6} \right)$

$0,5 \cdot x(x-1)(x-2)(x-3) = 3 \cdot (x-1)(x-2)(x-3) \cdot \frac{7}{6}$

Поскольку $x \geq 4$, множитель $(x-1)(x-2)(x-3)$ не равен нулю, на него можно сократить:

$0,5x = 3 \cdot \frac{7}{6}$

$0,5x = \frac{7}{2}$

$0,5x = 3,5$

Умножим обе части на 2:

$x = 7$

Значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \geq 4$).

Ответ: $x=7$.

48.13. Решите неравенство:

a) $120 < A_{k-3}^2 < 140;$

б) $C_6^2 < A_n^2 < C_8^2;$

в) $C_{10}^2 < A_x^2 < 60;$

г) $C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200.$