Номер 48.10, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

48.10. a) $C_x^3 = 2C_x^2;$

б) $C_x^{x-2} = 15;$

в) $C_x^2 + C_{x+1}^2 = 49;$

г) $C_8^x = 70.$

а) $C_x^3 = 2C_x^2$

Данное уравнение содержит число сочетаний. Воспользуемся формулой числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условиями существования сочетаний: $x$ должен быть целым числом, и должны выполняться неравенства $x \ge 3$ и $x \ge 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$, $x \in \mathbb{N}$.

Распишем левую и правую части уравнения по формуле:
$C_x^3 = \frac{x!}{3!(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{6 \cdot (x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим выражения в исходное уравнение:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 2 \cdot \frac{x(x-1)}{2}$
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = x(x-1)$

Согласно ОДЗ ($x \ge 3$), $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:
$\frac{x-2}{6} = 1$
$x-2 = 6$
$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 3$).
Ответ: 8.

б) $C_x^{x-2} = 15$

Используем свойство симметрии числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:
$C_x^2 = 15$

ОДЗ для $C_x^2$: $x$ - целое число и $x \ge 2$.
Распишем левую часть по формуле:
$\frac{x!}{2!(x-2)!} = 15$
$\frac{x(x-1)}{2} = 15$

Решим полученное уравнение:
$x(x-1) = 30$
$x^2 - x - 30 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию.
Ответ: 6.

в) $C_x^2 + C_{x+1}^2 = 49$

ОДЗ: $x \ge 2$ и $x+1 \ge 2 \implies x \ge 1$. Объединенное ОДЗ: $x \ge 2$, $x \in \mathbb{N}$.
Распишем каждое слагаемое по формуле:
$C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$
$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)x}{2}$

Подставим в уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} + \frac{x(x+1)}{2} = 49$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$x(x-1) + x(x+1) = 98$
$x^2 - x + x^2 + x = 98$
$2x^2 = 98$
$x^2 = 49$
$x = \pm 7$

Согласно ОДЗ ($x \ge 2$), подходит только корень $x=7$.
Ответ: 7.

г) $C_8^x = 70$

ОДЗ: $x$ - целое число, $0 \le x \le 8$.
Распишем левую часть по формуле:
$C_8^x = \frac{8!}{x!(8-x)!} = 70$

Поскольку $x$ является целым числом из небольшого диапазона, можно решить уравнение подбором.
$C_8^0 = 1$
$C_8^1 = 8$
$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Мы нашли, что при $x=4$ равенство выполняется.
Значения $C_n^k$ симметричны относительно $k=n/2$. В данном случае $C_8^x = C_8^{8-x}$. Для $x=4$ имеем $8-x=4$, так что это единственный максимум. Для всех других $x$ в ОДЗ значение $C_8^x$ будет меньше 70.
Ответ: 4.