Номер 48.4, страница 292, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.4. Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия.

а) Сколько существует различных типов билетов?

б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны x в зону y рассчитывается по формуле $S = 7 + 6|x - y|$?

в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 р.?

г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 р.?

а)

Тип билета определяется парой номеров (зона отправления, зона прибытия). Всего существует 10 зон.

Зону отправления $x$ можно выбрать 10 способами.

Зону прибытия $y$ также можно выбрать 10 способами.

Так как выбор зоны отправления и зоны прибытия независимы, общее количество различных типов билетов равно произведению числа вариантов для каждой зоны:

$10 \times 10 = 100$

Ответ: 100.

б)

Стоимость билета $S$ зависит от абсолютной разности номеров зон $|x - y|$, где $x, y \in \{1, 2, ..., 10\}$.

Найдем все возможные значения для $|x - y|$:

Минимальное значение равно 0, когда $x = y$ (поездка внутри одной зоны).

Максимальное значение равно $|10 - 1| = 9$.

Так как $x$ и $y$ могут быть любыми целыми числами от 1 до 10, разность $|x-y|$ может принимать любое целое значение от 0 до 9 включительно.

Возможные значения для $|x - y|$: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Всего 10 различных возможных значений для разности.

Поскольку формула стоимости $S = 7 + 6|x - y|$ является линейной функцией от $|x - y|$, каждому уникальному значению $|x - y|$ будет соответствовать уникальная стоимость. Следовательно, количество различных стоимостей равно количеству различных значений $|x - y|$.

Ответ: 10.

в)

Нужно найти количество типов билетов (пар $(x, y)$), для которых стоимость не превышает 50 р.

Запишем неравенство:

$S \le 50$

$7 + 6|x - y| \le 50$

$6|x - y| \le 43$

$|x - y| \le \frac{43}{6}$

$|x - y| \le 7.166...$

Поскольку $|x - y|$ — целое неотрицательное число, возможные значения для него: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Теперь посчитаем, сколько пар $(x, y)$ существует для каждого из этих значений:

• Для $|x - y| = 0$: это означает $x = y$. Таких пар 10: (1,1), (2,2), ..., (10,10).
• Для $|x - y| = k > 0$: это означает $x - y = k$ или $y - x = k$.
  • Пары, где $x - y = k$: $(k+1, 1), (k+2, 2), ..., (10, 10-k)$. Всего $10-k$ пар.
  • Пары, где $y - x = k$: $(1, k+1), (2, k+2), ..., (10-k, 10)$. Всего $10-k$ пар.
  Итого для $|x - y| = k$ существует $2 \times (10 - k)$ пар.

Подсчитаем количество пар для каждого значения $|x-y|$:

• $|x - y| = 0$: 10 пар.
• $|x - y| = 1$: $2 \times (10 - 1) = 18$ пар.
• $|x - y| = 2$: $2 \times (10 - 2) = 16$ пар.
• $|x - y| = 3$: $2 \times (10 - 3) = 14$ пар.
• $|x - y| = 4$: $2 \times (10 - 4) = 12$ пар.
• $|x - y| = 5$: $2 \times (10 - 5) = 10$ пар.
• $|x - y| = 6$: $2 \times (10 - 6) = 8$ пар.
• $|x - y| = 7$: $2 \times (10 - 7) = 6$ пар.

Суммируем все найденные количества:

$10 + 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 = 94$

Ответ: 94.

г)

Нужно найти количество типов билетов, цена которых кратна 5.

Стоимость $S = 7 + 6|x - y|$ должна делиться на 5. Запишем это условие в виде сравнения по модулю 5:

$7 + 6|x - y| \equiv 0 \pmod{5}$

Так как $7 \equiv 2 \pmod{5}$ и $6 \equiv 1 \pmod{5}$, сравнение можно упростить. Пусть $d = |x - y|$.

$2 + 1 \cdot d \equiv 0 \pmod{5}$

$d \equiv -2 \pmod{5}$

$d \equiv 3 \pmod{5}$

Это означает, что разность номеров зон $d = |x - y|$ при делении на 5 должна давать в остатке 3.

Как мы выяснили в пункте б), $d$ может принимать значения от 0 до 9. Выберем те из них, которые удовлетворяют условию $d \equiv 3 \pmod{5}$:

• $d = 3$
• $d = 8$

Теперь посчитаем количество типов билетов для этих значений $d$, используя формулу из пункта в) $2 \times (10 - d)$:

• Для $d = |x - y| = 3$: количество пар равно $2 \times (10 - 3) = 2 \times 7 = 14$.
• Для $d = |x - y| = 8$: количество пар равно $2 \times (10 - 8) = 2 \times 2 = 4$.

Общее количество таких типов билетов равно сумме:

$14 + 4 = 18$

Ответ: 18.