Номер 47.21, страница 291, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.21. a) Шесть пловцов участвуют в двух заплывах на шести дорожках. Дорожки между пловцами в каждом заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех возможных распределений пловцов по дорожкам.

б) То же, но если в каждом заплыве один из пловцов — победитель отборочных соревнований — плывёт по четвёртой дорожке.

в) То же, но если во втором заплыве участвуют 5 пловцов.

г) То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца.

а) В первом заплыве участвуют 6 пловцов, и для них есть 6 дорожек. Распределение 6 пловцов по 6 дорожкам является перестановкой. Число таких перестановок равно $P_6 = 6!$.

Вычислим значение факториала: $6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$.

Таким образом, для первого заплыва существует 720 возможных распределений пловцов по дорожкам.

Во втором заплыве условия те же: 6 пловцов и 6 дорожек. Следовательно, для второго заплыва также существует $6! = 720$ вариантов распределения.

Поскольку распределения в заплывах независимы друг от друга, общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения: нужно перемножить число вариантов для каждого заплыва.

Общее число распределений $N = 6! \times 6! = 720 \times 720 = 518400$.

Ответ: 518400

б) В этой задаче условия меняются. В каждом заплыве один пловец (победитель отборочных соревнований) заранее получает четвёртую дорожку. Его позиция зафиксирована.

Рассмотрим первый заплыв. Поскольку позиция одного пловца определена, остаётся распределить 5 оставшихся пловцов по 5 оставшимся дорожкам. Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$.

Вычислим значение факториала: $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

Аналогичная ситуация и во втором заплыве: победитель плывёт по четвёртой дорожке, а остальные 5 пловцов распределяются по 5 оставшимся дорожкам. Число вариантов для второго заплыва также равно $5! = 120$.

Общее число распределений, как и в предыдущем пункте, находится перемножением числа вариантов для каждого заплыва:

Общее число распределений $N = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400

в) В этой задаче условия снова меняются. Первый заплыв проходит по стандартным правилам из пункта а), а во втором участвуют только 5 пловцов.

Для первого заплыва, как и в пункте а), число распределений 6 пловцов по 6 дорожкам равно $P_6 = 6! = 720$.

Рассмотрим второй заплыв. В нём участвуют 5 пловцов из 6, и для них доступно 6 дорожек. Сначала нужно выбрать, какие 5 из 6 пловцов будут участвовать. Число способов выбрать 5 пловцов из 6 равно числу сочетаний $C_6^5$.

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6$ способов.

Далее, этих 5 выбранных пловцов нужно распределить по 6 дорожкам. Это является размещением 5 элементов по 6 местам. Число таких размещений равно $A_6^5$.

$A_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$ способов.

Таким образом, общее число вариантов для второго заплыва равно произведению числа способов выбрать пловцов и числа способов их рассадить: $N_2 = C_6^5 \times A_6^5 = 6 \times 720 = 4320$.

Общее число распределений для двух заплывов равно произведению числа вариантов для каждого заплыва:

$N = N_1 \times N_2 = 6! \times (C_6^5 \times A_6^5) = 720 \times 4320 = 3110400$.

Ответ: 3110400

г) В этой задаче в обоих заплывах участвует по 4 пловца из 6, и им доступны 6 дорожек.

Рассмотрим первый заплыв. Сначала нужно выбрать 4 пловцов из 6. Число способов сделать это равно $C_6^4$.

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ способов.

Затем этих 4 пловцов нужно распределить по 6 дорожкам. Число способов сделать это равно числу размещений $A_6^4$.

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ способов.

Общее число вариантов для первого заплыва $N_1$ равно произведению числа способов выбора и числа способов размещения:

$N_1 = C_6^4 \times A_6^4 = 15 \times 360 = 5400$.

Условия для второго заплыва точно такие же, и он не зависит от первого. Поэтому число вариантов для второго заплыва $N_2$ также равно 5400.

Общее число всех возможных распределений находится по правилу произведения:

$N = N_1 \times N_2 = 5400 \times 5400 = 29160000$.

Ответ: 29160000