Номер 47.17, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.17. При каких натуральных значениях n выполняется неравенство:

a) $n! > (n + 1)(n - 2)!$

б) $7 \cdot (2n + 1)! \cdot (2n - 1)! < 8 \cdot ((2n)!)^2$

a) Исходное неравенство: $n! > (n + 1)(n - 2)!$.
Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $(n - 2)!$ определено при $n - 2 \ge 0$, то есть при $n \ge 2$.
Воспользуемся определением факториала, чтобы упростить левую часть неравенства: $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)! > (n + 1)(n - 2)!$.
Так как при $n \ge 2$ значение $(n-2)!$ всегда положительно, мы можем разделить обе части неравенства на $(n-2)!$, не меняя знака неравенства:
$n(n - 1) > n + 1$.
Раскроем скобки и преобразуем неравенство:
$n^2 - n > n + 1$
$n^2 - 2n - 1 > 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 2n - 1 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Графиком функции $y = n^2 - 2n - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $n^2 - 2n - 1 > 0$ выполняется, когда $n$ находится вне интервала между корнями:
$n < 1 - \sqrt{2}$ или $n > 1 + \sqrt{2}$.
Оценим значения корней: $1 - \sqrt{2} \approx -0.414$ и $1 + \sqrt{2} \approx 2.414$.
Таким образом, $n < -0.414$ или $n > 2.414$.
Учитывая, что $n$ — натуральное число и должно удовлетворять условию $n \ge 2$, нам подходят натуральные значения $n$, которые больше $2.414$.
Это числа $3, 4, 5, \dots$.
Ответ: для всех натуральных $n \ge 3$.

б) Исходное неравенство: $7 \cdot (2n + 1)! \cdot (2n - 1)! < 8 \cdot ((2n)!)^2$.
Выражение $(2n - 1)!$ определено для натуральных $n \ge 1$.
Преобразуем факториалы в неравенстве, используя следующие тождества:
$(2n + 1)! = (2n + 1) \cdot (2n)!$
$(2n)! = 2n \cdot (2n - 1)!$
Подставим первое тождество в левую часть неравенства:
$7 \cdot (2n + 1) \cdot (2n)! \cdot (2n - 1)! < 8 \cdot ((2n)!)^2$.
Поскольку $(2n)! > 0$ для всех натуральных $n$, мы можем разделить обе части на $(2n)!$:
$7 \cdot (2n + 1) \cdot (2n - 1)! < 8 \cdot (2n)!$.
Теперь подставим второе тождество в правую часть полученного неравенства:
$7 \cdot (2n + 1) \cdot (2n - 1)! < 8 \cdot 2n \cdot (2n - 1)!$.
Разделим обе части на $(2n-1)!$, которое также всегда положительно при $n \ge 1$:
$7(2n + 1) < 8 \cdot 2n$.
Решим полученное линейное неравенство:
$14n + 7 < 16n$
$7 < 16n - 14n$
$7 < 2n$
$n > \frac{7}{2}$ или $n > 3.5$.
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, решениями неравенства являются все натуральные числа, большие 3.5, то есть $4, 5, 6, \dots$.
Ответ: для всех натуральных $n \ge 4$.