Номер 47.18, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите неравенство:

47.18. a) $n! > (n + 3)^2$ при $n \ge 5$;

б) $n! > (n + 2)^3$ при $n \ge 6$;

в) $n! > 2^n$ при $n \ge 4$;

г) $n! > 4^n$ при $n \ge 9$.

Для доказательства всех неравенств воспользуемся методом математической индукции.

а) Докажем неравенство $n! > (n+3)^2$ при $n \ge 5$.

1. База индукции.
Проверим справедливость неравенства для наименьшего возможного значения $n=5$.
Левая часть: $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
Правая часть: $(5+3)^2 = 8^2 = 64$.
Поскольку $120 > 64$, неравенство для $n=5$ выполняется.

2. Индукционный переход.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть $k! > (k+3)^2$. Это наше индукционное предположение.
Докажем, что из этого следует справедливость неравенства для $n=k+1$, то есть $(k+1)! > ((k+1)+3)^2$ или $(k+1)! > (k+4)^2$.
Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$:
$(k+1)! = (k+1) \cdot k!$
Используя индукционное предположение $k! > (k+3)^2$, получаем:
$(k+1)! > (k+1)(k+3)^2$
Теперь нам нужно доказать, что $(k+1)(k+3)^2 > (k+4)^2$ для $k \ge 5$.
$(k+1)(k^2+6k+9) > k^2+8k+16$
$k^3+6k^2+9k+k^2+6k+9 > k^2+8k+16$
$k^3+7k^2+15k+9 > k^2+8k+16$
$k^3+6k^2+7k-7 > 0$
Поскольку $k \ge 5$, все слагаемые положительны, кроме последнего: $k^3 > 0$, $6k^2 > 0$. Проверим $7k-7$: при $k \ge 5$, $7k \ge 35$, значит $7k-7 > 0$. Таким образом, вся сумма $k^3+6k^2+7k-7$ очевидно больше нуля при $k \ge 5$.
Итак, мы доказали, что $(k+1)! > (k+1)(k+3)^2$ и $(k+1)(k+3)^2 > (k+4)^2$. Следовательно, $(k+1)! > (k+4)^2$.
Индукционный переход доказан.

Вывод: Согласно методу математической индукции, неравенство $n! > (n+3)^2$ верно для всех $n \ge 5$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $n! > (n+2)^3$ при $n \ge 6$.

1. База индукции.
Проверим неравенство для $n=6$.
Левая часть: $6! = 720$.
Правая часть: $(6+2)^3 = 8^3 = 512$.
Поскольку $720 > 512$, неравенство для $n=6$ выполняется.

2. Индукционный переход.
Предположим, что неравенство верно для $k \ge 6$: $k! > (k+2)^3$.
Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $(k+1)! > ((k+1)+2)^3$ или $(k+1)! > (k+3)^3$.
$(k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1)(k+2)^3$.
Нам нужно доказать, что $(k+1)(k+2)^3 > (k+3)^3$ для $k \ge 6$.
Разделим обе части на $(k+2)^3$ (это положительное число):
$k+1 > \frac{(k+3)^3}{(k+2)^3} = \left(\frac{k+3}{k+2}\right)^3 = \left(1 + \frac{1}{k+2}\right)^3$.
Раскроем правую часть по формуле куба суммы: $\left(1 + \frac{1}{k+2}\right)^3 = 1 + \frac{3}{k+2} + \frac{3}{(k+2)^2} + \frac{1}{(k+2)^3}$.
Нам нужно доказать, что $k+1 > 1 + \frac{3}{k+2} + \frac{3}{(k+2)^2} + \frac{1}{(k+2)^3}$, что эквивалентно $k > \frac{3}{k+2} + \frac{3}{(k+2)^2} + \frac{1}{(k+2)^3}$.
Для $k \ge 6$, имеем $k+2 \ge 8$. Тогда правая часть меньше, чем $ \frac{3}{8} + \frac{3}{8^2} + \frac{1}{8^3} = \frac{3}{8} + \frac{3}{64} + \frac{1}{512} = \frac{192+24+1}{512} = \frac{217}{512} < 1$.
Поскольку $k \ge 6$, а правая часть меньше 1, неравенство $k > \frac{217}{512}$ очевидно выполняется.
Следовательно, $(k+1)! > (k+1)(k+2)^3 > (k+3)^3$.
Индукционный переход доказан.

Вывод: Согласно методу математической индукции, неравенство $n! > (n+2)^3$ верно для всех $n \ge 6$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $n! > 2^n$ при $n \ge 4$.

1. База индукции.
Проверим неравенство для $n=4$.
Левая часть: $4! = 24$.
Правая часть: $2^4 = 16$.
Поскольку $24 > 16$, неравенство для $n=4$ выполняется.

2. Индукционный переход.
Предположим, что неравенство верно для $k \ge 4$: $k! > 2^k$.
Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $(k+1)! > 2^{k+1}$.
$(k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \cdot 2^k$.
Нам нужно доказать, что $(k+1) \cdot 2^k > 2^{k+1}$.
Разделив обе части на $2^k$, получим $k+1 > 2$.
Так как по условию $k \ge 4$, то $k+1 \ge 5$, и неравенство $5>2$ истинно.
Следовательно, $(k+1)! > (k+1) \cdot 2^k > 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$.
Индукционный переход доказан.

Вывод: Согласно методу математической индукции, неравенство $n! > 2^n$ верно для всех $n \ge 4$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $n! > 4^n$ при $n \ge 9$.

1. База индукции.
Проверим неравенство для $n=9$.
Левая часть: $9! = 362880$.
Правая часть: $4^9 = 262144$.
Поскольку $362880 > 262144$, неравенство для $n=9$ выполняется.

2. Индукционный переход.
Предположим, что неравенство верно для $k \ge 9$: $k! > 4^k$.
Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $(k+1)! > 4^{k+1}$.
$(k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \cdot 4^k$.
Нам нужно доказать, что $(k+1) \cdot 4^k > 4^{k+1}$.
Разделив обе части на $4^k$, получим $k+1 > 4$.
Так как по условию $k \ge 9$, то $k+1 \ge 10$, и неравенство $10>4$ истинно.
Следовательно, $(k+1)! > (k+1) \cdot 4^k > 4 \cdot 4^k = 4^{k+1}$.
Индукционный переход доказан.

Вывод: Согласно методу математической индукции, неравенство $n! > 4^n$ верно для всех $n \ge 9$.
Ответ: Неравенство доказано.