Номер 47.22, страница 291, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.22. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды.

a) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче.

б) То же, но для двух, независимо проводимых матчей.

в) То же, но если во втором матче участвует только по три лучших шахматиста из каждой команды.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

а) Пусть в первой команде 5 шахматистов, и во второй команде 5 шахматистов. Нам нужно найти количество способов составить 5 пар, где в каждой паре по одному шахматисту из каждой команды. Рассмотрим шахматистов первой команды. Первому шахматисту можно назначить в соперники любого из 5 шахматистов второй команды. Второму шахматисту — любого из оставшихся 4. Третьему — любого из оставшихся 3, и так далее. Таким образом, общее число возможных распределений встреч равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $5!$.
$N_a = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120.

б) В этом случае проводятся два независимых матча. Для каждого из матчей условия аналогичны пункту а), то есть в каждом матче участвуют по 5 шахматистов из каждой команды. Число возможных распределений для первого матча равно $5! = 120$. Число возможных распределений для второго матча также равно $5! = 120$. Поскольку матчи проводятся независимо, общее число возможных распределений является произведением числа распределений для каждого матча.
$N_b = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
Ответ: 14400.

в) Здесь также два независимых матча. Для первого матча, в котором участвуют по 5 шахматистов, число распределений, как и ранее, составляет $N_1 = 5! = 120$. Во втором матче участвуют только по 3 лучших шахматиста из каждой команды. Число возможных распределений для этого матча равно числу перестановок из 3 элементов.
$N_2 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Общее число возможных распределений для двух матчей равно произведению числа распределений для каждого из них.
$N_c = N_1 \times N_2 = 5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$.
Ответ: 720.

г) Снова рассматриваем два независимых матча. Число распределений для первого матча (5 на 5 игроков) остается прежним: $N_1 = 5! = 120$. Во втором матче (также 5 на 5 игроков)