Номер 47.23, страница 291, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.23. Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках. Их надо разослать директорам школ № 1, 2, ..., 7.

а) Найдите число всех возможных рассылок приглашений.

б) То же, что и в пункте а), но если самую красивую открытку послать директору школы № 1.

в) То же, что и в пункте а), но в школы № 3, 6 и 7 надо дополнительно разослать три разные открытки с приглашениями для заместителей директоров по учебной работе.

г) То же, что и в пункте в), но в оставшиеся школы надо дополнительно разослать разные открытки с приглашениями для заместителей директоров по воспитательной работе.

а) У нас есть 7 разных открыток, которые нужно разослать в 7 разных школ (директорам школ № 1, 2, ..., 7). Каждой школе соответствует одна уникальная открытка. Это задача на нахождение числа перестановок, так как порядок распределения открыток важен (открытки разные).
Число способов распределить 7 разных открыток по 7 разным адресатам равно числу перестановок из 7 элементов, которое обозначается как $P_7$ и вычисляется как $7!$ (7 факториал).
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Таким образом, существует 5040 возможных способов рассылки.
Ответ: 5040.

б) В этом случае накладывается дополнительное условие: самая красивая открытка должна быть отправлена директору школы № 1. Это означает, что одна открытка и один получатель уже определены. Их сопоставление фиксировано.
Теперь нам нужно распределить оставшиеся $7 - 1 = 6$ разных открыток между оставшимися $7 - 1 = 6$ директорами школ. Это снова задача на перестановки, но уже для 6 элементов.
Число способов сделать это равно $P_6 = 6!$.
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Ответ: 720.

в) Эта задача состоит из двух независимых частей. Общее число способов находится как произведение числа способов для каждой части (по правилу умножения в комбинаторике).
1. Рассылка 7 разных открыток директорам 7 школ. Как мы нашли в пункте а), число способов для этого равно $7! = 5040$.
2. Дополнительная рассылка трех разных открыток заместителям директоров по учебной работе. Эти открытки нужно разослать в конкретные три школы: № 3, 6 и 7. Так как открытки разные и школы разные, число способов их распределить равно числу перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3!$.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Общее число всех возможных рассылок равно произведению результатов этих двух независимых действий:
$N = 7! \times 3! = 5040 \times 6 = 30240$.
Ответ: 30240.

г) Эта задача расширяет условие пункта в), добавляя еще одно действие. Общее число способов будет произведением числа способов для трех независимых частей.
1. Рассылка 7 разных открыток директорам 7 школ. Число способов: $7! = 5040$.
2. Рассылка 3 разных открыток заместителям директоров по учебной работе в школы № 3, 6 и 7. Число способов: $3! = 6$.
3. Дополнительная рассылка разных открыток заместителям директоров по воспитательной работе в оставшиеся школы. Всего 7 школ. Школы № 3, 6 и 7 уже получили открытки для заместителей. Следовательно, осталось $7 - 3 = 4$ школы (это школы № 1, 2, 4, 5). Для них нужно разослать 4 разные открытки. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов: $P_4 = 4!$.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Общее число всех возможных рассылок равно произведению результатов этих трех независимых действий:
$N = 7! \times 3! \times 4! = 5040 \times 6 \times 24 = 30240 \times 24 = 725760$.
Ответ: 725760.