Номер 48.1, страница 292, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.1. Встретились несколько человек и стали здороваться, обмениваясь рукопожатиями. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

Пусть $n$ — количество человек, а $K$ — количество рукопожатий. По условию $60 \le K \le 70$.

Общая формула для числа рукопожатий, когда каждый здоровается с каждым в группе из $n$ человек, — это число сочетаний из $n$ по 2:

$K = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

а) каждый здоровался с каждым;

В этом случае мы можем напрямую использовать формулу для числа рукопожатий. Нам нужно найти такое целое число $n$, чтобы выполнялось неравенство:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 70$

Умножим все части неравенства на 2:

$120 \le n(n-1) \le 140$

Будем подбирать целые значения $n$.

• При $n=11$, $n(n-1) = 11 \times 10 = 110$ (меньше 120).
• При $n=12$, $n(n-1) = 12 \times 11 = 132$ (удовлетворяет неравенству).
• При $n=13$, $n(n-1) = 13 \times 12 = 156$ (больше 140).

Единственное подходящее значение — $n=12$. При этом число рукопожатий будет $K = \frac{12 \times 11}{2} = 66$, что входит в заданный диапазон [60, 70].

Ответ: 12 человек.

б) только один человек не здоровался ни с кем;

Пусть общее число людей — $n$. Если один человек ни с кем не здоровался, то все рукопожатия происходили между остальными $n-1$ людьми. В этой группе из $n-1$ человек каждый поздоровался с каждым.

Число рукопожатий $K$ в этом случае равно:

$K = \frac{(n-1)((n-1)-1)}{2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Подставим это в заданное условие:

$60 \le \frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 70$

$120 \le (n-1)(n-2) \le 140$

Пусть $m = n-1$. Тогда неравенство примет вид $120 \le m(m-1) \le 140$. Как мы выяснили в пункте а), единственное целое решение этого неравенства — $m=12$.

Следовательно, $n-1 = 12$, откуда $n=13$.

Проверим: если встретилось 13 человек, и один ни с кем не здоровался, то рукопожатия были между 12 людьми. Их число $K = \frac{12 \times 11}{2} = 66$, что удовлетворяет условию $60 \le K \le 70$.

Ответ: 13 человек.

в) только двое не поздоровались между собой;

Пусть общее число людей — $n$. Если бы все здоровались со всеми, число рукопожатий было бы равно $\frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, двое человек не поздоровались друг с другом, что означает, что произошло на одно рукопожатие меньше, чем максимально возможное. Таким образом, число рукопожатий $K$ равно:

$K = \frac{n(n-1)}{2} - 1$

Подставим в неравенство:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} - 1 \le 70$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71$

Умножим на 2:

$122 \le n(n-1) \le 142$

Снова подбираем целые значения $n$.

• При $n=11$, $n(n-1) = 110$ (меньше 122).
• При $n=12$, $n(n-1) = 132$ (удовлетворяет неравенству).
• При $n=13$, $n(n-1) = 156$ (больше 142).

Подходит только $n=12$. При этом число рукопожатий $K = \frac{12 \times 11}{2} - 1 = 66 - 1 = 65$, что удовлетворяет условию $60 \le K \le 70$.

Ответ: 12 человек.

г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

В этом случае все люди разделены на две группы, которые не взаимодействуют друг с другом.
Первая группа состоит из 4 человек. Число рукопожатий в ней $K_1$:

$K_1 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

Пусть общее число людей — $n$. Тогда во второй группе будет $n-4$ человек. Число рукопожатий в этой группе $K_2$:

$K_2 = \frac{(n-4)((n-4)-1)}{2} = \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Общее число рукопожатий $K = K_1 + K_2$.

$K = 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Подставим в условие $60 \le K \le 70$:

$60 \le 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$54 \le \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 64$

Умножим на 2:

$108 \le (n-4)(n-5) \le 128$

Пусть $m = n-4$. Неравенство примет вид $108 \le m(m-1) \le 128$. Подбираем целые значения $m$.

• При $m=10$, $m(m-1) = 90$ (меньше 108).
• При $m=11$, $m(m-1) = 110$ (удовлетворяет неравенству).
• При $m=12$, $m(m-1) = 132$ (больше 128).

Единственное подходящее значение — $m=11$.

Так как $m = n-4$, то $n = m+4 = 11+4 = 15$.

Проверим: если всего 15 человек, то группы состоят из 4 и 11 человек. Число рукопожатий: $K = K_1 + K_2 = \frac{4 \times 3}{2} + \frac{11 \times 10}{2} = 6 + 55 = 61$. Это значение находится в диапазоне [60, 70].

Ответ: 15 человек.