Номер 48.8, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.8. Упростите выражение:

а) $ \frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} $,

б) $ \frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_{n+1}^n} $.

а)

Для упрощения выражения $\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}}$ воспользуемся определениями основных комбинаторных формул: числа перестановок, сочетаний и размещений.

1. Число перестановок из $n$ элементов $P_n$ определяется по формуле: $P_n = n!$.

2. Число сочетаний из $n+1$ по 3, $C_{n+1}^3$, определяется по формуле: $C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3!((n+1)-3)!} = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$.

3. Число размещений из $n$ по $n-2$, $A_n^{n-2}$, определяется по формуле: $A_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-(n-2))!} = \frac{n!}{2!}$.

Теперь подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{P_n \cdot C_{n+1}^3}{A_n^{n-2}} = \frac{n! \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}}{\frac{n!}{2!}}$

Чтобы упростить это многоэтажное дробное выражение, заменим деление на умножение на обратную дробь:

$n! \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} \cdot \frac{2!}{n!}$

Сокращаем $n!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(n+1)! \cdot 2!}{3!(n-2)!}$

Теперь раскроем факториалы для дальнейшего сокращения. Заметим, что $3! = 3 \cdot 2!$ и $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$:

$\frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! \cdot 2!}{3 \cdot 2! \cdot (n-2)!}$

Сокращаем общие множители $(n-2)!$ и $2!$:

$\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$

Выражение имеет смысл при $n+1 \ge 3$, то есть $n \ge 2$.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n+1)}{3}$.

б)

Для упрощения выражения $\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_{n+1}^n}$ также воспользуемся определениями комбинаторных формул.

1. Число перестановок из $n+1$ элементов $P_{n+1}$: $P_{n+1} = (n+1)!$.

2. Число сочетаний из $n$ по $n-2$, $C_n^{n-2}$: $C_n^{n-2} = \frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!} = \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}$.

3. Число размещений из $n+1$ по $n$, $A_{n+1}^n$: $A_{n+1}^n = \frac{(n+1)!}{((n+1)-n)!} = \frac{(n+1)!}{1!} = (n+1)!$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{P_{n+1} \cdot C_n^{n-2}}{A_{n+1}^n} = \frac{(n+1)! \cdot \frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}}{(n+1)!}$

Сокращаем одинаковые множители $(n+1)!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}$

Раскроем $n!$ как $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$ и учтем, что $2! = 2$:

$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)! \cdot 2}$

Сокращаем общий множитель $(n-2)!$:

$\frac{n(n-1)}{2}$

Заметим, что полученное выражение является также формулой для $C_n^2$. Это следует из свойства сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Выражение имеет смысл при $n \ge n-2$, то есть $n \ge 2$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.