Номер 48.13, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

а) $120 < A_{k-3}^2 < 140$

Формула для числа размещений: $A_n^m = n(n-1)...(n-m+1)$. В данном случае $A_{k-3}^2 = (k-3)(k-3-1) = (k-3)(k-4)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $A_{k-3}^2$ определяется условием $k-3 \ge 2$, что дает $k \ge 5$. Также, $k$ должно быть целым числом.

Подставим формулу в неравенство:

$120 < (k-3)(k-4) < 140$

Нам нужно найти два последовательных целых числа $(k-4)$ и $(k-3)$, произведение которых лежит в интервале от 120 до 140. Проверим произведения последовательных целых чисел:

$10 \cdot 11 = 110$ (меньше 120)

$11 \cdot 12 = 132$ (удовлетворяет неравенству $120 < 132 < 140$)

$12 \cdot 13 = 156$ (больше 140)

Единственное подходящее произведение - это 132. Таким образом, $(k-4)(k-3) = 132$. Это означает, что меньшее число $(k-4)$ равно 11, а большее $(k-3)$ равно 12.

Решим уравнение $k-4 = 11$:

$k = 11 + 4 = 15$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $k=15$ ОДЗ ($k \ge 5$). Да, удовлетворяет.

Ответ: $k=15$.

б) $C_6^2 < A_n^2 < C_8^2$

Сначала вычислим значения сочетаний. Формула для числа сочетаний: $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Теперь неравенство принимает вид:

$15 < A_n^2 < 28$

Формула для числа размещений $A_n^2 = n(n-1)$. ОДЗ: $n$ - целое число и $n \ge 2$.

Подставим формулу в неравенство:

$15 < n(n-1) < 28$

Нам нужно найти такое целое $n \ge 2$, чтобы произведение двух последовательных чисел $n-1$ и $n$ лежало в интервале от 15 до 28. Проверим значения:

При $n=4$: $4 \cdot 3 = 12$ (меньше 15)

При $n=5$: $5 \cdot 4 = 20$ (удовлетворяет неравенству $15 < 20 < 28$)

При $n=6$: $6 \cdot 5 = 30$ (больше 28)

Единственное целое значение, удовлетворяющее условию, это $n=5$.

Ответ: $n=5$.

в) $C_{10}^2 < A_x^2 < 60$

Вычислим значение $C_{10}^2$:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Неравенство принимает вид:

$45 < A_x^2 < 60$

Используем формулу $A_x^2 = x(x-1)$. ОДЗ: $x$ - целое число и $x \ge 2$.

Подставляем в неравенство:

$45 < x(x-1) < 60$

Ищем целое $x \ge 2$, для которого произведение $x(x-1)$ находится между 45 и 60. Проверим значения:

При $x=7$: $7 \cdot 6 = 42$ (меньше 45)

При $x=8$: $8 \cdot 7 = 56$ (удовлетворяет неравенству $45 < 56 < 60$)

При $x=9$: $9 \cdot 8 = 72$ (больше 60)

Единственное подходящее целое значение - это $x=8$.

Ответ: $x=8$.

г) $C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200$

Сначала вычислим левую границу:

$C_{19}^2 = \frac{19!}{2!(19-2)!} = \frac{19 \cdot 18}{2 \cdot 1} = 171$

Теперь рассмотрим выражение в середине неравенства. Используем формулы $A_x^2 = x(x-1)$ и $C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$. ОДЗ: $x$ - целое число и $x \ge 2$.

$A_x^2 + C_x^2 = x(x-1) + \frac{x(x-1)}{2} = \frac{2x(x-1) + x(x-1)}{2} = \frac{3}{2}x(x-1)$

Неравенство принимает вид:

$171 < \frac{3}{2}x(x-1) < 200$

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$, чтобы выделить $x(x-1)$:

$171 \cdot \frac{2}{3} < x(x-1) < 200 \cdot \frac{2}{3}$

$57 \cdot 2 < x(x-1) < \frac{400}{3}$

$114 < x(x-1) < 133.33...$

Ищем целое $x \ge 2$, для которого произведение $x(x-1)$ лежит в интервале от 114 до 133.33... . Проверим значения:

При $x=11$: $11 \cdot 10 = 110$ (меньше 114)

При $x=12$: $12 \cdot 11 = 132$ (удовлетворяет неравенству $114 < 132 < 133.33...$)

При $x=13$: $13 \cdot 12 = 156$ (больше 133.33...)

Единственное подходящее целое значение - это $x=12$.

Ответ: $x=12$.