Номер 48.19, страница 295, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.19. Пусть $y(n) = \frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}$, $n \ge 4$.

а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки $(n; y(n)).$

б) Постройте график этого многочлена.

в) Укажите наибольшее $n$, при котором $y(n) < 600$.

г) Укажите наименьшее $n$, при котором $y(n) > 6000$.

а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки $(n; y(n))$.

Для того чтобы найти многочлен, необходимо упростить выражение для $y(n)$. Исходная функция задана как $y(n) = \frac{A_n^5}{C_{n-2}^3}$. Вспомним формулы для числа размещений ($A_n^k$) и числа сочетаний ($C_n^k$):
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Данные выражения определены для $n \ge k$. Следовательно, $A_n^5$ определено при $n \ge 5$, а $C_{n-2}^3$ определено при $n-2 \ge 3$, то есть $n \ge 5$. Таким образом, выражение для $y(n)$ корректно определено для целых $n \ge 5$.

Распишем числитель и знаменатель: $A_n^5 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$ $C_{n-2}^3 = \frac{(n-2)!}{3!(n-2-3)!} = \frac{(n-2)!}{6(n-5)!} = \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$

Теперь найдем их отношение: $y(n) = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}}$

При $n \ge 5$ знаменатель дроби в знаменателе не равен нулю, и мы можем сократить общие множители $(n-2)(n-3)(n-4)$: $y(n) = 6n(n-1) = 6n^2 - 6n$.

Таким образом, все точки $(n, y(n))$ для $n \ge 5$ лежат на графике многочлена $P(n) = 6n^2 - 6n$.

Ответ: $y = 6n^2 - 6n$.

б) Постройте график этого многочлена.

Графиком многочлена $y(n) = 6n^2 - 6n$ является парабола. Опишем её основные свойства для построения:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($6 > 0$).
• Координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $n_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2} = 0.5$. Ордината вершины: $y_v = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6 \cdot 0.25 - 3 = 1.5 - 3 = -1.5$. Таким образом, вершина находится в точке $(0.5, -1.5)$.
• Точки пересечения с осью абсцисс (осью $On$). Решим уравнение $6n^2 - 6n = 0 \Rightarrow 6n(n-1) = 0$. Корни $n_1=0$ и $n_2=1$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка пересечения с осью ординат (осью $Oy$) находится при $n=0$, $y(0)=0$. Это точка $(0,0)$.
• Для более точного построения можно вычислить значения в нескольких целочисленных точках:
  • $n=2: y(2) = 6 \cdot 2 \cdot (2-1) = 12$
  • $n=3: y(3) = 6 \cdot 3 \cdot (3-1) = 36$
  • $n=4: y(4) = 6 \cdot 4 \cdot (4-1) = 72$
  • $n=5: y(5) = 6 \cdot 5 \cdot (5-1) = 120$

График представляет собой параболу, проходящую через начало координат, с вершиной в точке $(0.5, -1.5)$ и быстро возрастающую при $n > 1$.

Ответ: График функции $y = 6n^2 - 6n$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0.5, -1.5)$ и пересечениями с осью абсцисс в точках $n=0$ и $n=1$.

в) Укажите наибольшее n, при котором $y(n) < 600$.

Решим неравенство $y(n) < 600$, используя найденный многочлен: $6n^2 - 6n < 600$ $n^2 - n < 100$ $n^2 - n - 100 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - n - 100 = 0$ по формуле: $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-100)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+400}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{401}}{2}$

Приближенно оценим значение $\sqrt{401}$. Так как $20^2=400$, то $\sqrt{401} \approx 20.025$. Тогда корни равны: $n_1 = \frac{1 - \sqrt{401}}{2} \approx \frac{1 - 20.025}{2} \approx -9.51$ $n_2 = \frac{1 + \sqrt{401}}{2} \approx \frac{1 + 20.025}{2} \approx 10.51$

Парабола $f(n) = n^2 - n - 100$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $f(n) < 0$ выполняется между корнями: $-9.51 < n < 10.51$. Мы ищем наибольшее целое число $n$ из этого интервала, удовлетворяющее условию $n \ge 4$. Целые числа из интервала, которые больше или равны 4, это $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Наибольшее из них — 10.

Проверим:
При $n=10$, $y(10) = 6 \cdot 10^2 - 6 \cdot 10 = 600 - 60 = 540$. $540 < 600$.
При $n=11$, $y(11) = 6 \cdot 11^2 - 6 \cdot 11 = 6 \cdot 121 - 66 = 726 - 66 = 660$. $660 > 600$.

Ответ: 10.

г) Укажите наименьшее n, при котором $y(n) > 6000$.

Решим неравенство $y(n) > 6000$: $6n^2 - 6n > 6000$ $n^2 - n > 1000$ $n^2 - n - 1000 > 0$

Найдем корни уравнения $n^2 - n - 1000 = 0$: $n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1000)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4000}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{4001}}{2}$

Оценим значение $\sqrt{4001}$. Так как $63^2=3969$ и $64^2=4096$, то $63 < \sqrt{4001} < 64$. Более точная оценка: $\sqrt{4001} \approx 63.25$. Корни равны: $n_1 = \frac{1 - \sqrt{4001}}{2} \approx \frac{1 - 63.25}{2} \approx -31.125$ $n_2 = \frac{1 + \sqrt{4001}}{2} \approx \frac{1 + 63.25}{2} \approx 32.125$

Парабола $g(n) = n^2 - n - 1000$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $g(n) > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $n < n_1$ или $n > n_2$. То есть $n < -31.125$ или $n > 32.125$. Учитывая условие $n \ge 4$, нам подходит только $n > 32.125$. Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, — 33.

Проверим:
При $n=32$, $y(32) = 6 \cdot 32^2 - 6 \cdot 32 = 6 \cdot 1024 - 192 = 6144 - 192 = 5952$. $5952 < 6000$.
При $n=33$, $y(33) = 6 \cdot 33^2 - 6 \cdot 33 = 6 \cdot 1089 - 2046 = 6534 - 198 = 6336$. $6336 > 6000$.

Ответ: 33.