Номер 48.26, страница 296, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.26. В разложении $(x + \frac{1}{x})^{10}$ по степеням x укажите:

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В нашем случае дано разложение выражения $(x + \frac{1}{x})^{10}$. Здесь $a = x$, $b = \frac{1}{x}$ и $n=10$.

Общий $(k+1)$-й член разложения $T_{k+1}$ (где $k$ — целое число от 0 до 10) имеет вид:
$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$

Здесь $C_{10}^k = \frac{10!}{k!(10-k)!}$ — биномиальный коэффициент. Чтобы найти искомый член разложения, нужно определить значение $k$, при котором степень $x$ будет равна заданной.

а) член, содержащий $x^8$;
Найдем значение $k$, для которого степень переменной $x$ равна 8:
$10 - 2k = 8$
$2k = 10 - 8$
$2k = 2$
$k = 1$
Поскольку $k=1$ является целым числом от 0 до 10, такой член существует. Это $(1+1)=2$-й член разложения.
Найдем его: $T_2 = C_{10}^1 x^{10-2(1)} = C_{10}^1 x^8$.
Вычислим биномиальный коэффициент:
$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10$.
Следовательно, искомый член равен $10x^8$.
Ответ: $10x^8$.

б) член, содержащий $x^4$;
Найдем значение $k$, для которого степень $x$ равна 4:
$10 - 2k = 4$
$2k = 10 - 4$
$2k = 6$
$k = 3$
Это $(3+1)=4$-й член разложения.
Найдем его: $T_4 = C_{10}^3 x^{10-2(3)} = C_{10}^3 x^4$.
Вычислим коэффициент:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.
Таким образом, член, содержащий $x^4$, это $120x^4$.
Ответ: $120x^4$.

в) член, содержащий $x^{-2}$;
Найдем значение $k$, для которого степень $x$ равна -2:
$10 - 2k = -2$
$2k = 10 + 2$
$2k = 12$
$k = 6$
Это $(6+1)=7$-й член разложения.
Найдем его: $T_7 = C_{10}^6 x^{10-2(6)} = C_{10}^6 x^{-2}$.
Вычислим коэффициент, используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.
Значит, искомый член равен $210x^{-2}$.
Ответ: $210x^{-2}$.

г) член, не содержащий $x$.
Член, не содержащий $x$, является свободным членом, то есть степень $x$ в нем равна 0.
Найдем значение $k$, для которого степень $x$ равна 0:
$10 - 2k = 0$
$2k = 10$
$k = 5$
Это $(5+1)=6$-й член разложения.
Найдем его: $T_6 = C_{10}^5 x^{10-2(5)} = C_{10}^5 x^0 = C_{10}^5$.
Вычислим коэффициент:
$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$.
Следовательно, член, не содержащий $x$, равен 252.
Ответ: 252.