Номер 48.29, страница 296, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.29. Найдите $k$, при котором достигается наибольшее значение выражения:

a) $C_5^k$;

б) $C_{16}^k$;

в) $C_{61}^k$;

г) $C_{999}^{k-1} + C_{999}^k$.

Для решения данной задачи необходимо найти значение $k$, при котором биномиальный коэффициент $C_n^k$ или сумма таких коэффициентов максимальна. Значение $C_n^k$ (число сочетаний из $n$ по $k$) достигает своего максимума при фиксированном $n$, когда $k$ находится как можно ближе к $n/2$.

• Если $n$ — четное число ($n = 2m$), то наибольшее значение достигается при $k = m = n/2$.
• Если $n$ — нечетное число ($n = 2m+1$), то наибольшее значение достигается при двух значениях $k$: $k = m = \frac{n-1}{2}$ и $k = m+1 = \frac{n+1}{2}$.

а) $C_5^k$

Здесь $n=5$. Это нечетное число. Наибольшее значение выражения достигается, когда $k$ наиболее близко к $n/2 = 5/2 = 2.5$. Такими целыми значениями являются $k=2$ и $k=3$.

При $k=2$, $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10$.

При $k=3$, $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10$.

Ответ: $k=2$ или $k=3$.

б) $C_{16}^k$

Здесь $n=16$. Это четное число. Наибольшее значение достигается, когда $k = n/2 = 16/2 = 8$.

Ответ: $k=8$.

в) $C_{61}^k$

Здесь $n=61$. Это нечетное число. Наибольшее значение достигается, когда $k$ наиболее близко к $n/2 = 61/2 = 30.5$. Такими целыми значениями являются $k=30$ и $k=31$.

Ответ: $k=30$ или $k=31$.

г) $C_{999}^{k-1} + C_{999}^k$

Для этого выражения воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля: $C_n^m + C_n^{m-1} = C_{n+1}^m$.

Применив это тождество, получим:

$C_{999}^{k-1} + C_{999}^k = C_{999+1}^k = C_{1000}^k$.

Теперь задача сводится к нахождению $k$, при котором выражение $C_{1000}^k$ достигает наибольшего значения. Здесь $n=1000$. Это четное число.

Наибольшее значение достигается при $k = n/2 = 1000/2 = 500$.

Необходимо проверить, что при $k=500$ исходное выражение определено. Для $C_{999}^{k-1}$ и $C_{999}^k$ должны выполняться условия $0 \le k-1 \le 999$ и $0 \le k \le 999$. Отсюда следует, что $1 \le k \le 999$. Найденное значение $k=500$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $k=500$.