Номер 48.21, страница 295, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.21. Найдите n, при котором:

а) число $C_{n+1}^2$ составляет 80 % от числа $C_n^3$;

б) число $C_{n+1}^3$ составляет 120 % от числа $C_n^4$;

в) число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56 % от числа $C_{2n+1}^{n-1}$;

г) число $C_{2n+3}^n$ составляет 150 % от числа $C_{2n+2}^{n+2}$.

а)

По условию, число $C_{n+1}^2$ составляет 80% от числа $C_n^3$. Это можно записать в виде уравнения: $C_{n+1}^2 = 0.8 \cdot C_n^3$

Используем формулу для числа сочетаний $C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!}$. Область допустимых значений для $n$: из $C_{n+1}^2$ следует $n+1 \ge 2$, то есть $n \ge 1$; из $C_n^3$ следует $n \ge 3$. Таким образом, $n$ должно быть целым числом и $n \ge 3$.

Распишем левую и правую части уравнения: $C_{n+1}^2 = \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = \frac{(n+1)!}{2(n-1)!} = \frac{(n+1)n(n-1)!}{2(n-1)!} = \frac{n(n+1)}{2}$ $C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Подставим выражения в исходное уравнение: $\frac{n(n+1)}{2} = 0.8 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{2n(n-1)(n-2)}{15}$

Так как $n \ge 3$, то $n \neq 0$. Можно разделить обе части на $n$: $\frac{n+1}{2} = \frac{2(n-1)(n-2)}{15}$

Умножим обе части на 30, чтобы избавиться от знаменателей: $15(n+1) = 4(n-1)(n-2)$ $15n + 15 = 4(n^2 - 3n + 2)$ $15n + 15 = 4n^2 - 12n + 8$ $4n^2 - 27n - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4(4)(-7) = 729 + 112 = 841 = 29^2$. Корни уравнения: $n_1 = \frac{27 - 29}{8} = -\frac{2}{8} = -0.25$ $n_2 = \frac{27 + 29}{8} = \frac{56}{8} = 7$

Согласно области допустимых значений, $n$ должно быть целым числом и $n \ge 3$. Корень $n_1 = -0.25$ не подходит. Корень $n_2 = 7$ удовлетворяет условиям.

Ответ: $n=7$.

б)

По условию, число $C_{n+1}^3$ составляет 120% от числа $C_n^4$. Уравнение: $C_{n+1}^3 = 1.2 \cdot C_n^4$

Область допустимых значений для $n$: из $C_{n+1}^3$ следует $n+1 \ge 3 \implies n \ge 2$; из $C_n^4$ следует $n \ge 4$. Таким образом, $n$ — целое число и $n \ge 4$.

Распишем сочетания: $C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ $C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Подставим в уравнение: $\frac{(n+1)n(n-1)}{6} = 1.2 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ $\frac{(n+1)n(n-1)}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{20}$

Так как $n \ge 4$, то $n(n-1) \neq 0$. Разделим обе части на $n(n-1)$: $\frac{n+1}{6} = \frac{(n-2)(n-3)}{20}$

Умножим обе части на 60: $10(n+1) = 3(n-2)(n-3)$ $10n + 10 = 3(n^2 - 5n + 6)$ $10n + 10 = 3n^2 - 15n + 18$ $3n^2 - 25n + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4(3)(8) = 625 - 96 = 529 = 23^2$. Корни уравнения: $n_1 = \frac{25 - 23}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $n_2 = \frac{25 + 23}{6} = \frac{48}{6} = 8$

Корень $n_1 = 1/3$ не является целым числом. Корень $n_2 = 8$ удовлетворяет условию $n \ge 4$.

Ответ: $n=8$.

в)

По условию, число $C_{2n}^{n+1}$ составляет 56% от числа $C_{2n+1}^{n-1}$. Уравнение: $C_{2n}^{n+1} = 0.56 \cdot C_{2n+1}^{n-1}$

Область допустимых значений: из $C_{2n}^{n+1}$ следует $2n \ge n+1 \implies n \ge 1$; из $C_{2n+1}^{n-1}$ следует $2n+1 \ge n-1 \implies n \ge -2$ и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Таким образом, $n$ — целое число и $n \ge 1$.

Распишем сочетания: $C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(2n - (n+1))!} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$ $C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1 - (n-1))!} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

Подставим в уравнение: $\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = 0.56 \cdot \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$ $\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} = \frac{14}{25} \cdot \frac{(2n+1)(2n)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)!}$

Сократим общие множители $\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$ в обеих частях: $1 = \frac{14}{25} \cdot \frac{2n+1}{n+2}$

Решим полученное уравнение: $25(n+2) = 14(2n+1)$ $25n + 50 = 28n + 14$ $3n = 36$ $n = 12$

Значение $n=12$ удовлетворяет условию $n \ge 1$.

Ответ: $n=12$.

г)

По условию, число $C_{2n+3}^{n}$ составляет 150% от числа $C_{2n+2}^{n+2}$. Уравнение: $C_{2n+3}^{n} = 1.5 \cdot C_{2n+2}^{n+2}$

Область допустимых значений: из $C_{2n+3}^{n}$ следует $2n+3 \ge n \implies n \ge -3$ и $n \ge 0$; из $C_{2n+2}^{n+2}$ следует $2n+2 \ge n+2 \implies n \ge 0$. Таким образом, $n$ — целое число и $n \ge 0$.

Распишем сочетания: $C_{2n+3}^{n} = \frac{(2n+3)!}{n!(2n+3-n)!} = \frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!}$ $C_{2n+2}^{n+2} = \frac{(2n+2)!}{(n+2)!(2n+2-(n+2))!} = \frac{(2n+2)!}{(n+2)!n!}$

Подставим в уравнение: $\frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!} = 1.5 \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)!n!}$ $\frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!} = \frac{3}{2} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+2)!n!}$

Распишем факториалы $(2n+3)! = (2n+3)(2n+2)!$ и $(n+3)! = (n+3)(n+2)!$: $\frac{(2n+3)(2n+2)!}{n!(n+3)(n+2)!} = \frac{3}{2} \cdot \frac{(2n+2)!}{n!(n+2)!}$

Сократим общие множители $\frac{(2n+2)!}{n!(n+2)!}$ в обеих частях уравнения (так как при $n \ge 0$ они не равны нулю): $\frac{2n+3}{n+3} = \frac{3}{2}$

Решим полученное линейное уравнение: $2(2n+3) = 3(n+3)$ $4n + 6 = 3n + 9$ $4n - 3n = 9 - 6$ $n = 3$

Значение $n=3$ удовлетворяет условию $n \ge 0$.

Ответ: $n=3$.