Номер 48.14, страница 294, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.14. Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).

а) Найти число всех возможных трезвучий.

б) Найти число всех возможных аккордов.

в) Найти число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль».

г) Найти число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).

а) Найдите число всех возможных трезвучий.

Трезвучие — это упорядоченный набор из трех различных нот. Поскольку порядок нот важен, мы имеем дело с размещениями. Нам нужно выбрать и расположить 3 ноты из 7 имеющихся.Число всех возможных трезвучий находится по формуле числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n=7$ (общее число нот) и $k=3$ (число нот в трезвучии).

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае:

$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Таким образом, существует 210 возможных трезвучий.

Ответ: 210.

б) Найдите число всех возможных аккордов.

Аккорд — это неупорядоченный набор из трех различных нот, так как они нажимаются одновременно. Здесь порядок нот не имеет значения, поэтому мы используем сочетания. Нам нужно выбрать 3 ноты из 7.Число всех возможных аккордов находится по формуле числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=7$ и $k=3$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35$.

Таким образом, существует 35 возможных аккордов.

Ответ: 35.

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль».

Если аккорд должен содержать ноту «соль», то одна из трех нот уже определена. Нам остается выбрать еще 2 ноты из оставшихся 6 нот (до, ре, ми, фа, ля, си). Так как это аккорд, порядок выбора этих двух нот не важен. Следовательно, мы ищем число сочетаний из 6 элементов по 2.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Таким образом, существует 15 аккордов, содержащих ноту «соль».

Ответ: 15.

г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).

Эта задача касается трезвучий (упорядоченных наборов), с дополнительным ограничением. Соседними считаются ноты, идущие подряд в гамме: (до, ре), (ре, ми), (ми, фа), (фа, соль), (соль, ля), (ля, си).Мы найдем общее число трезвучий, а затем вычтем из него число "нежелательных" трезвучий, в которых есть хотя бы одна пара соседних нот.Общее число трезвучий (из пункта а) равно $A_7^3 = 210$.

Используем метод включений-исключений. Пусть $A$ — множество трезвучий, где первые две ноты соседние, и $B$ — множество трезвучий, где вторые две ноты соседние. Нам нужно найти количество трезвучий, не принадлежащих ни $A$, ни $B$. Это число равно $A_7^3 - |A \cup B| = A_7^3 - (|A| + |B| - |A \cap B|)$.

1. Найдем $|A|$ (первые две ноты соседние):Всего существует 6 пар соседних нот. Каждую пару можно взять в двух порядках (например, (до, ре) и (ре, до)). Итого $6 \times 2 = 12$ упорядоченных пар.После выбора первой пары нот, третью ноту можно выбрать из оставшихся $7 - 2 = 5$ нот.Следовательно, $|A| = 12 \times 5 = 60$.

2. Найдем $|B|$ (последние две ноты соседние):Логика аналогична. Выбираем упорядоченную пару соседних нот для второй и третьей позиции (12 способов). Первую ноту выбираем из оставшихся 5 нот.Следовательно, $|B| = 5 \times 12 = 60$.

3. Найдем $|A \cap B|$ (и первая, и вторая пара нот — соседние):Это означает, что все три ноты в трезвучии идут подряд в гамме. Например, (до, ре, ми) или (ми, ре, до).Существует 5 троек последовательных нот: (до,ре,ми), (ре,ми,фа), (ми,фа,соль), (фа,соль,ля), (соль,ля,си).Для каждой такой тройки есть только две упорядоченные последовательности, где все ноты соседствуют друг с другом: в возрастающем и убывающем порядке. Например, для {до, ре, ми} это (до, ре, ми) и (ми, ре, до).Следовательно, $|A \cap B| = 5 \times 2 = 10$.

4. Найдем число "нежелательных" трезвучий:$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 60 + 60 - 10 = 110$.

5. Теперь найдем число трезвучий, удовлетворяющих условию:$210 - 110 = 100$.

Ответ: 100.