Номер 48.7, страница 293, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.7. a) $C_{27}^2 - C_{26}^2$;

б) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$;

B) $C_{11}^5 + C_{11}^6$;

Г) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}$.

а) $C_{27}^2 - C_{26}^2$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сочетаний, известным как тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$.

Из этого свойства можно выразить разность: $C_n^k - C_{n-1}^k = C_{n-1}^{k-1}$.

В нашем случае $n=27$ и $k=2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$C_{27}^2 - C_{26}^2 = C_{26}^{2-1} = C_{26}^1$

Число сочетаний из $n$ по $1$ всегда равно $n$, поэтому:

$C_{26}^1 = 26$

Ответ: 26

б) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2}$

Для решения задачи используем формулу для числа размещений (перестановок): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала вычислим значение числителя $A_8^6$:

$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

Затем вычислим значение знаменателя $A_{10}^2$:

$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90$

Теперь разделим полученные значения:

$\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = \frac{20160}{90} = \frac{2016}{9} = 224$

Ответ: 224

в) $C_{11}^5 + C_{11}^6$

Для решения этой задачи снова воспользуемся тождеством Паскаля: $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

В данном случае $n=11$ и $k=5$. Применяя тождество, получаем:

$C_{11}^5 + C_{11}^6 = C_{11+1}^{5+1} = C_{12}^6$

Теперь вычислим значение $C_{12}^6$ по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим множители в числителе и знаменателе: $12$ в числителе сокращается с $6 \times 2$ в знаменателе; $10$ делится на $5$, получаем $2$; $9$ делится на $3$, получаем $3$; $8$ делится на $4$, получаем $2$. В итоге получаем:

$C_{12}^6 = 11 \times (10/5) \times (9/3) \times (8/4) \times 7 = 11 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 = 924$

Ответ: 924

г) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}$

Для решения этой задачи вспомним определения числа размещений $A_n^k$ и числа сочетаний $C_n^k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Из этих формул видно, что они связаны простым соотношением: $A_n^k = C_n^k \times k!$.

Разделив обе части этого равенства на $C_n^k$, получим искомую дробь:

$\frac{A_n^k}{C_n^k} = k!$

В нашем случае $k=3$. Таким образом:

$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Ответ: 6