Номер 48.3, страница 292, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48.3. В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя.

а) Найдите число всех возможных вариантов выбора.

б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем.

в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь.

г) Найдите в пунктах а) и б) число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.

В данной задаче мы будем использовать основные формулы комбинаторики. Когда важен порядок выбора (например, при выборе капитана и заместителя), мы используем размещения. Когда порядок не важен (выбор пары кандидатов), мы используем сочетания.

а) Найдите число всех возможных вариантов выбора.

Необходимо выбрать капитана и его заместителя из 11 человек. Так как должности разные, порядок выбора важен. Это задача на размещения.
На должность капитана можно выбрать любого из 11 игроков.
После того как капитан выбран, на должность его заместителя остается 10 кандидатов.
Общее число вариантов равно произведению числа способов на каждом шаге. Это соответствует числу размещений из 11 элементов по 2:
$A_{11}^2 = 11 \cdot 10 = 110$.
Ответ: 110

б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем.

Если 3 новичка не могут занимать эти должности, то выбор осуществляется из оставшихся игроков.
Число игроков, которые могут быть выбраны: $11 - 3 = 8$.
Теперь задача сводится к выбору капитана и заместителя из 8 человек.
Число способов выбрать капитана — 8.
Число способов выбрать заместителя из оставшихся 7 человек — 7.
Общее число вариантов:
$A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56

в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь.

В команде 11 человек: 1 вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих.
Капитаном не может быть нападающий. Всего нападающих 2, значит, на роль капитана претендуют $11 - 2 = 9$ игроков.
Заместителем не может быть вратарь. Здесь нужно рассмотреть два случая, так как выбор заместителя зависит от того, кто был выбран капитаном.
Случай 1: Капитаном выбран вратарь.
Это возможно, так как вратарь не является нападающим. Есть 1 способ выбрать вратаря на роль капитана.
Для выбора заместителя остаются 10 игроков. По условию, заместитель не может быть вратарем. Так как вратарь уже выбран капитаном, любой из 10 оставшихся игроков может стать заместителем.
Число вариантов в этом случае: $1 \cdot 10 = 10$.
Случай 2: Капитаном выбран не вратарь и не нападающий.
Таких игроков $11 - 1 \text{ (вратарь)} - 2 \text{ (нападающих)} = 8$ человек (это защитники и полузащитники).
Есть 8 способов выбрать капитана.
Для выбора заместителя остаются 10 игроков. Среди них есть 1 вратарь, который по условию не может быть заместителем. Значит, на роль заместителя претендуют $10 - 1 = 9$ игроков.
Число вариантов в этом случае: $8 \cdot 9 = 72$.
Общее число вариантов равно сумме вариантов из двух случаев:
$10 + 72 = 82$.
Ответ: 82

г) Найдите в пунктах а) и б) число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.

Здесь речь идет о выборе группы из двух человек, где их роли (капитан и заместитель) еще не определены. Это значит, что порядок выбора не важен, и мы должны использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для ситуации из пункта а):
Нужно выбрать 2 кандидатов из 11 игроков ($n=11, k=2$).
$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.
Для ситуации из пункта б):
Нужно выбрать 2 кандидатов из 8 допущенных к выбору игроков ($n=8, k=2$).
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.
Ответ: для пункта а) — 55, для пункта б) — 28.