Номер 47.20, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.20. У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если:

а) место хозяина дома неприкосновенно;

б) первыми садятся дети, и они садятся рядом;

в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом;

г) жёны садятся рядом со своими мужьями?

Всего за столом 6 человек: семья хозяев (мама, папа, сын) и семья гостей (мама, папа, дочь). Стол круглый, на 6 мест. Для решения задачи будем считать места за столом различимыми (например, пронумерованными), так как условия, особенно в пункте а), это подразумевают. Это означает, что мы имеем дело с перестановками, а не с комбинациями с учётом циклической симметрии.

а) место хозяина дома неприкосновенно

По условию, хозяин дома (папа-хозяин) занимает одно конкретное, заранее определенное место. Его позиция фиксирована, поэтому для него существует только 1 способ сесть. Остается 5 человек, которых нужно рассадить на оставшиеся 5 свободных мест. Количество способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$.

Вычисляем факториал:

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, существует 120 способов рассадить людей при данном условии.

Ответ: 120

б) первыми садятся дети, и они садятся рядом

В группе два ребенка: сын хозяев и дочь гостей. Они должны сидеть на двух соседних местах.
1. Сначала выберем пару соседних мест. За круглым столом с 6 стульями существует 6 пар соседних мест (места 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1).
2. На эти два места детей можно посадить двумя способами: сын слева, дочь справа, или наоборот. Это $2! = 2$ способа.
Таким образом, число способов рассадить детей равно $6 \times 2 = 12$.
3. После того как дети сели, остаются 4 свободных места и 4 взрослых. Их можно рассадить на оставшиеся места $4!$ способами.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.
4. Общее число способов находим, перемножая число способов для детей и для взрослых:
$12 \times 24 = 288$

Ответ: 288

в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом

Этот случай является дополнением к случаю из пункта б). Мы можем найти общее количество способов рассадить 6 человек и вычесть из него количество способов, когда дети сидят рядом.
1. Общее количество способов рассадить 6 человек на 6 различных мест равно $6!$.
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ способов.
2. Количество способов, при которых дети сидят рядом, мы нашли в пункте б) — это 288 способов.
3. Вычитаем одно из другого, чтобы найти количество способов, при которых дети сидят не рядом:
$720 - 288 = 432$ способа.
Другой способ решения:
1. Посадим первого ребенка (например, сына). У него есть 6 вариантов выбора места.
2. Чтобы второй ребенок (дочь) не сидел рядом, она не может занять место, уже занятое сыном, и два соседних с ним. Таким образом, для неё остается $6 - 1 - 2 = 3$ свободных места.
3. Количество способов разместить детей не рядом: $6 \times 3 = 18$.
4. Оставшихся 4 взрослых можно рассадить на 4 оставшихся места $4! = 24$ способами.
5. Общее число способов: $18 \times 24 = 432$.

Ответ: 432

г) жёны садятся рядом со своими мужьями?

В задаче две супружеские пары, которые должны сидеть вместе. Будем рассматривать каждую пару как единый объект.
Пара 1 (хозяева) и Пара 2 (гости). Также есть двое детей.
1. Рассадим первую пару. Нужно выбрать для них 2 соседних места. Как мы уже знаем, есть 6 таких пар мест. Внутри каждой пары мужа и жену можно поменять местами ($2! = 2$ способа). Итого способов для первой пары: $6 \times 2 = 12$.
2. Рассадим вторую пару. После посадки первой пары осталось 4 свободных места. Среди этих 4 мест нужно найти пары соседних. Таких пар будет 3. (Например, если первая пара заняла места 1-2, то для второй остаются пары 3-4, 4-5, 5-6). Внутри второй пары также 2 способа рассадки ($2! = 2$). Итого способов для второй пары: $3 \times 2 = 6$.
3. Рассадим детей. Осталось 2 свободных места и 2 ребенка. Их можно рассадить $2! = 2$ способами.
4. Находим общее число способов. Для этого нужно перемножить количество способов на каждом шаге:
$12 \times 6 \times 2 = 144$

Ответ: 144