Номер 47.13, страница 290, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.13. Сколькими нулями оканчивается число:

а) $10!$;

б) $15!$;

в) $26!$;

г) $100!?$

Для того чтобы определить, сколькими нулями оканчивается число $n!$ (n-факториал), необходимо найти количество множителей 10 в его разложении на простые множители. Так как $10 = 2 \times 5$, количество нулей определяется количеством пар множителей (2, 5). В разложении $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ количество простых множителей 2 всегда больше, чем количество множителей 5. Поэтому задача сводится к подсчету количества множителей 5.

Для нахождения этого количества можно использовать формулу Лежандра, которая определяет показатель степени простого числа $p$ в каноническом разложении $n!$:

$E_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \dots$

где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$. В нашем случае $p=5$.

а) 10!

Для $n=10$ найдем количество множителей 5. Применяем формулу:

$E_5(10!) = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots = 2 + 0 = 2$

Количество множителей 5 равно 2, следовательно, число 10! оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2

б) 15!

Для $n=15$ найдем количество множителей 5. Применяем формулу:

$E_5(15!) = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor + \lfloor \frac{15}{25} \rfloor + \dots = 3 + 0 = 3$

Количество множителей 5 равно 3, следовательно, число 15! оканчивается тремя нулями.

Ответ: 3

в) 26!

Для $n=26$ найдем количество множителей 5. Применяем формулу:

$E_5(26!) = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{25} \rfloor + \lfloor \frac{26}{125} \rfloor + \dots = 5 + 1 + 0 = 6$

Первый член $\lfloor \frac{26}{5} \rfloor = 5$ соответствует числам 5, 10, 15, 20, 25. Второй член $\lfloor \frac{26}{25} \rfloor = 1$ соответствует числу 25, которое содержит дополнительный множитель 5 ($25 = 5^2$). Общее количество множителей 5 равно 6.

Следовательно, число 26! оканчивается шестью нулями.

Ответ: 6

г) 100!

Для $n=100$ найдем количество множителей 5. Применяем формулу:

$E_5(100!) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$

Вычисляем члены суммы:

$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$

$\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$

Общее количество множителей 5 равно $20 + 4 = 24$.

Следовательно, число 100! оканчивается 24 нулями.

Ответ: 24