Номер 47.7, страница 288, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.7. В один день происходят выборы мэра города и префекта округа. На первую должность свои кандидатуры выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин, Юшкин, Яшкин.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования на выборах.

б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?

в) В скольких вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв?

г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть ещё кандидата «против всех»?

а)

Чтобы построить дерево возможных вариантов, мы должны учесть, что на каждом из двух этапов голосования (выбор мэра, затем выбор префекта) есть по 3 варианта. Для каждого выбора мэра существует 3 возможных выбора префекта.

Кандидаты в мэры: Алкин, Балкин, Валкин.

Кандидаты в префекты: Эшкин, Юшкин, Яшкин.

Дерево вариантов голосования выглядит следующим образом:

• Мэр: Алкин
  • Префект: Эшкин
  • Префект: Юшкин
  • Префект: Яшкин
• Мэр: Балкин
  • Префект: Эшкин
  • Префект: Юшкин
  • Префект: Яшкин
• Мэр: Валкин
  • Префект: Эшкин
  • Префект: Юшкин
  • Префект: Яшкин

Общее число возможных вариантов можно найти по правилу умножения: количество кандидатов в мэры умножается на количество кандидатов в префекты.

Число вариантов = $3 \times 3 = 9$.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше. Всего существует 9 возможных вариантов голосования.

б)

Нам нужно найти все варианты, в которых присутствует кандидатура Эшкина. Эшкин является кандидатом в префекты. Это означает, что выбор префекта зафиксирован, а в качестве мэра может быть выбран любой из трех кандидатов.

Такими вариантами являются:

1. Пара (Алкин, Эшкин)
2. Пара (Балкин, Эшкин)
3. Пара (Валкин, Эшкин)

Всего получается 3 варианта.

Ответ: Кандидатура Эшкина будет в 3 вариантах.

в)

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала посчитаем количество букв в фамилиях кандидатов:

• Алкин — 5 букв
• Балкин — 6 букв
• Валкин — 6 букв

• Эшкин — 5 букв
• Юшкин — 5 букв
• Яшкин — 5 букв

Теперь рассмотрим все возможные пары и сравним количество букв в фамилиях:

• Если мэр Алкин (5 букв), то у любого из кандидатов в префекты (Эшкин, Юшкин, Яшкин) фамилия также состоит из 5 букв. Здесь нет вариантов с разным числом букв.
• Если мэр Балкин (6 букв), то у любого из кандидатов в префекты (Эшкин, Юшкин, Яшкин) фамилия состоит из 5 букв. Во всех этих парах количество букв разное (6 и 5). Это дает 3 варианта.
• Если мэр Валкин (6 букв), то ситуация аналогична предыдущей. Количество букв в фамилии (6) отличается от количества букв в фамилиях всех кандидатов в префекты (5). Это дает еще 3 варианта.

Таким образом, общее количество вариантов, в которых фамилии кандидатов состоят из разного числа букв, равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: В 6 вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв.

г)

При добавлении кандидата «против всех» количество вариантов выбора на каждой должности увеличивается на 1.

Теперь у нас 4 варианта для выбора мэра (Алкин, Балкин, Валкин, «против всех») и 4 варианта для выбора префекта (Эшкин, Юшкин, Яшкин, «против всех»).

Изменения для пункта а):

Дерево вариантов станет больше. У него будет 4 основные ветви (по числу вариантов выбора мэра), и от каждой из них будет отходить по 4 ветви (по числу вариантов выбора префекта). Общее число вариантов теперь будет равно $4 \times 4 = 16$.

Изменения для пункта б):

Вопрос остаётся тем же: «В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?». Выбор префекта по-прежнему зафиксирован — это Эшкин. А вот на должность мэра теперь есть 4 варианта выбора:

1. Пара (Алкин, Эшкин)
2. Пара (Балкин, Эшкин)
3. Пара (Валкин, Эшкин)
4. Пара («против всех», Эшкин)

Таким образом, количество вариантов с кандидатурой Эшкина увеличится до 4.

Ответ: В пункте а) общее число вариантов увеличится до 16. В пункте б) количество вариантов с кандидатурой Эшкина увеличится до 4.