Номер 47.5, страница 288, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.5. За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

а) общее число всех вариантов контрольной работы;
Для нахождения общего числа всех вариантов контрольной работы воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения. Контрольная работа состоит из пяти задач, по одной из каждой из пяти тем. Для каждой темы имеется 10 задач на выбор. Поскольку выбор задачи из одной темы является независимым событием от выбора задач из других тем, мы можем перемножить количество вариантов для каждой задачи.
Количество способов выбрать задачу по теме 1: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 2: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 3: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 4: 10.
Количество способов выбрать задачу по теме 5: 10.
Общее число вариантов контрольной работы равно произведению этих количеств:
$N_{общ} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100000$
Ответ: 100000.

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;
Ученик умеет решать 8 задач в каждой из 10. Чтобы ученик мог решить все пять задач контрольной, каждая из них должна быть выбрана из числа тех восьми, которые он умеет решать.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 1: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 2: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 3: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 4: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по теме 5: 8.
Используя правило умножения, найдем общее число таких вариантов:
$N_{реш} = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^5 = 32768$
Ответ: 32768.

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;
Чтобы ученик не смог решить ни одной задачи, каждая задача в варианте должна быть из числа тех, которые он решать не умеет. В каждой теме 10 задач, из которых 8 он решает. Значит, в каждой теме есть $10 - 8 = 2$ задачи, которые он решить не может.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 1: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 2: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 3: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 4: 2.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 5: 2.
Общее число вариантов, в которых ученик не может решить ни одной задачи:
$N_{нереш} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$
Ответ: 32.

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.
В этом случае первая задача должна быть из тех, что ученик не решает, а остальные четыре — из тех, что он решает.
Количество способов выбрать "нерешаемую" задачу по первой теме: $10 - 8 = 2$.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по второй теме: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по третьей теме: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по четвертой теме: 8.
Количество способов выбрать "решаемую" задачу по пятой теме: 8.
Общее число таких вариантов находим по правилу умножения:
$N_{г} = 2 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 2 \times 8^4 = 2 \times 4096 = 8192$
Ответ: 8192.