Номер 47.3, страница 287, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47.3. a) Сколько имеется трёхзначных чисел, составленных только из чётных цифр?

б) Сколько имеется трёхзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр?

в) Сколько имеется трёхзначных чисел, кратных 5?

г) Сколько имеется трёхзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?

а) Трёхзначное число состоит из трёх цифр. Чётными цифрами являются 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 цифр). Пусть трёхзначное число имеет вид $xyz$. На место первой цифры ($x$) можно поставить любую чётную цифру, кроме 0 (иначе число не будет трёхзначным). Таким образом, для первой цифры есть 4 варианта: 2, 4, 6, 8. На место второй цифры ($y$) можно поставить любую из 5 чётных цифр: 0, 2, 4, 6, 8. На место третьей цифры ($z$) также можно поставить любую из 5 чётных цифр. По правилу произведения, общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $N = 4 \times 5 \times 5 = 100$.
Ответ: 100

б) Пусть трёхзначное число имеет вид $abc$. Условие, что число не меняется при перемене местами первой и последней цифр, означает, что число $abc$ равно числу $cba$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда первая цифра равна последней, то есть $a = c$. Первая цифра $a$ не может быть нулём, поэтому для неё существует 9 вариантов (от 1 до 9). Вторая цифра $b$ может быть любой, от 0 до 9, что даёт 10 вариантов. Третья цифра $c$ однозначно определяется выбором первой цифры ($c = a$), поэтому для неё есть только 1 вариант. Общее количество таких чисел равно: $N = 9 \times 10 \times 1 = 90$.
Ответ: 90

в) Трёхзначное число кратно 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Пусть трёхзначное число имеет вид $abc$. Для первой цифры $a$ есть 9 вариантов (любая цифра от 1 до 9). Для второй цифры $b$ есть 10 вариантов (любая цифра от 0 до 9). Для третьей цифры $c$ есть 2 варианта (0 или 5). Общее количество таких трёхзначных чисел равно: $N = 9 \times 10 \times 2 = 180$.
Ответ: 180

г) Пусть исходное трёхзначное число $N_1$ представлено в виде $100a + 10b + c$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ и $c$ — цифры от 0 до 9. После перестановки первой и второй цифр получаем число $N_2 = 100b + 10a + c$. По условию, изменение числа должно быть меньше 90. Это означает, что модуль разности между $N_1$ и $N_2$ должен быть меньше 90: $|N_1 - N_2| < 90$. Вычислим эту разность: $| (100a + 10b + c) - (100b + 10a + c) | = | 90a - 90b | = 90 \cdot |a - b|$. Подставим это в неравенство: $90 \cdot |a - b| < 90$. Разделив обе части на 90, получим: $|a - b| < 1$. Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их разность $a - b$ также является целым числом. Единственное целое число, модуль которого меньше 1, это 0. Следовательно, $|a - b| = 0$, что означает $a = b$. Таким образом, мы ищем трёхзначные числа, у которых первая и вторая цифры равны. Для первой цифры $a$ есть 9 вариантов (от 1 до 9). Вторая цифра $b$ должна быть равна первой ($b=a$), поэтому для неё есть только 1 вариант. Третья цифра $c$ может быть любой (от 0 до 9), что даёт 10 вариантов. Общее количество таких чисел: $N = 9 \times 1 \times 10 = 90$.
Ответ: 90