Номер 46.63, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.63. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2:3, а объём составлял $576 \text{ м}^3$. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $c$.Согласно условию задачи, стороны основания относятся как $2:3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда:$a = 2x$$b = 3x$

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. По условию, объём равен $576 \text{ м}^3$. Подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу объема:$V = (2x)(3x)c = 6x^2c$$576 = 6x^2c$Отсюда выразим высоту $c$ через $x$:$c = \frac{576}{6x^2} = \frac{96}{x^2}$

Задача состоит в том, чтобы найти размеры, при которых полная поверхность короба будет наименьшей. Формула полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:$S = 2(ab + ac + bc)$Подставим в эту формулу выражения для $a$, $b$ и $c$ через $x$, чтобы получить функцию площади поверхности $S(x)$:$S(x) = 2((2x)(3x) + (2x)(\frac{96}{x^2}) + (3x)(\frac{96}{x^2}))$$S(x) = 2(6x^2 + \frac{192}{x} + \frac{288}{x})$$S(x) = 2(6x^2 + \frac{480}{x})$$S(x) = 12x^2 + \frac{960}{x}$

Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, необходимо найти её производную по $x$ и приравнять к нулю.$S'(x) = (12x^2 + 960x^{-1})' = 24x - 960x^{-2} = 24x - \frac{960}{x^2}$Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$S'(x) = 0$$24x - \frac{960}{x^2} = 0$$24x = \frac{960}{x^2}$$24x^3 = 960$$x^3 = \frac{960}{24}$$x^3 = 40$$x = \sqrt[3]{40}$Так как $x$ является коэффициентом для линейного размера, нас интересует только положительное значение.

Чтобы убедиться, что найденное значение $x$ соответствует точке минимума, найдём вторую производную:$S''(x) = (24x - 960x^{-2})' = 24 - (-2) \cdot 960x^{-3} = 24 + \frac{1920}{x^3}$Поскольку $x > 0$, то $x^3 > 0$, и, следовательно, $S''(x) > 0$. Это означает, что в точке $x = \sqrt[3]{40}$ функция $S(x)$ имеет минимум.

Теперь найдём размеры сторон параллелепипеда, подставив найденное значение $x = \sqrt[3]{40}$:$a = 2x = 2\sqrt[3]{40} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5} \text{ м}$$b = 3x = 3\sqrt[3]{40} = 3\sqrt[3]{8 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5} \text{ м}$$c = \frac{96}{x^2} = \frac{96}{(\sqrt[3]{40})^2} = \frac{96}{\sqrt[3]{1600}} = \frac{96}{\sqrt[3]{64 \cdot 25}} = \frac{96}{4\sqrt[3]{25}} = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} \text{ м}$Можно избавиться от иррациональности в знаменателе для высоты $c$:$c = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5} = 4,8\sqrt[3]{5} \text{ м}$

Ответ: стороны основания должны быть $4\sqrt[3]{5}$ м и $6\sqrt[3]{5}$ м, а высота должна быть $4,8\sqrt[3]{5}$ м.