Номер 46.60, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.60. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Для решения задачи введем систему координат. Пусть дорога совпадает с осью Ox, а точка на дороге, ближайшая к базе, будет началом координат O(0, 0). Тогда база Б находится в точке с координатами Б(0, 5), так как расстояние от базы до дороги составляет 5 км.

Из условия известно, что расстояние от базы Б до станции С равно 13 км. Станция С также находится на дороге (оси Ox). Мы можем найти её координату, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный точками О, Б и С. В этом треугольнике катет ОБ равен 5 км, а гипотенуза БС равна 13 км. По теореме Пифагора найдем второй катет ОС:

$ ОС = \sqrt{БС^2 - ОБ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $ км.

Таким образом, станция находится в точке С(12, 0).

Пешеход должен пройти часть пути по лесу, а часть — по дороге, чтобы минимизировать общее время в пути. Пусть пешеход выходит из леса на дорогу в некоторой точке М с координатой (x, 0). Маршрут пешехода состоит из двух отрезков: БМ (по лесу) и МС (по дороге). Очевидно, что для минимизации времени точка М должна лежать между точками О(0, 0) и С(12, 0), то есть $ 0 \le x \le 12 $.

Найдем длины этих отрезков:

• Длина пути по лесу БМ, по формуле расстояния между двумя точками Б(0, 5) и М(x, 0):
  $ S_1 = \text{БМ} = \sqrt{(x-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{x^2 + 25} $ км.
• Длина пути по дороге МС, как расстояние между точками М(x, 0) и С(12, 0):
  $ S_2 = \text{МС} = 12 - x $ км.

Скорости пешехода известны: по лесу $ v_1 = 3 $ км/ч, по дороге $ v_2 = 5 $ км/ч. Общее время в пути $ T $ является суммой времени, затраченного на каждый участок:

$ T = t_1 + t_2 = \frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} $

Подставим выражения для расстояний и скоростей, получив функцию времени от переменной $x$:

$ T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5} $

Чтобы найти минимальное время, нужно найти минимум этой функции. Для этого найдем её производную по $x$ и приравняем к нулю:

$ T'(x) = \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5} \right)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 25}} \cdot (2x) - \frac{1}{5} = \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} $

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$ \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} = 0 $

$ \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{1}{5} $

$ 5x = 3\sqrt{x^2 + 25} $

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $ x \ge 0 $):

$ 25x^2 = 9(x^2 + 25) $

$ 25x^2 = 9x^2 + 225 $

$ 16x^2 = 225 $

$ x^2 = \frac{225}{16} $

$ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3,75 $ км.

Это значение $x$ находится в допустимом интервале [0, 12]. Проверка с помощью второй производной $ T''(x) = \frac{25}{3(x^2+25)^{3/2}} $ показывает, что она всегда положительна, следовательно, найденная точка является точкой минимума.

Теперь подставим найденное значение $ x = 3,75 $ км в функцию времени $ T(x) $ для вычисления минимального времени:

$ T_{min} = T(3,75) = \frac{\sqrt{(3,75)^2 + 25}}{3} + \frac{12 - 3,75}{5} $

Вычислим части по отдельности:

• $ \sqrt{(3,75)^2 + 25} = \sqrt{(\frac{15}{4})^2 + 25} = \sqrt{\frac{225}{16} + \frac{400}{16}} = \sqrt{\frac{625}{16}} = \frac{25}{4} = 6,25 $ км.
• Время по лесу: $ t_1 = \frac{6,25}{3} = \frac{25/4}{3} = \frac{25}{12} $ ч.
• $ 12 - 3,75 = 8,25 $ км.
• Время по дороге: $ t_2 = \frac{8,25}{5} = \frac{33/4}{5} = \frac{33}{20} $ ч.

Суммарное время:

$ T_{min} = \frac{25}{12} + \frac{33}{20} = \frac{25 \cdot 5}{60} + \frac{33 \cdot 3}{60} = \frac{125 + 99}{60} = \frac{224}{60} = \frac{56}{15} $ часа.

Переведем это значение в часы и минуты:

$ \frac{56}{15} \text{ ч} = 3 \frac{11}{15} \text{ ч} = 3 \text{ часа} + \frac{11}{15} \cdot 60 \text{ минут} = 3 \text{ часа} + 11 \cdot 4 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 44 \text{ минуты}. $

Ответ: Минимальное время, за которое пешеход может добраться от базы до станции, составляет $3 \frac{11}{15}$ часа, или 3 часа 44 минуты.