Номер 46.64, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.64. Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна $d$. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть a — сторона основания правильной четырехугольной призмы, а h — ее высота (длина бокового ребра).

Объем призмы V вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = a^2h$

Боковая грань призмы является прямоугольником со сторонами a и h. Диагональ этого прямоугольника по условию равна d. Согласно теореме Пифагора для этого прямоугольника, мы имеем: $a^2 + h^2 = d^2$

Наша задача — найти значение h, при котором объем V будет максимальным. Для этого выразим объем как функцию одной переменной, например h. Из уравнения для диагонали выразим $a^2$: $a^2 = d^2 - h^2$

Заметим, что поскольку a и h — это длины, они должны быть положительными. Из $a^2 = d^2 - h^2 > 0$ следует, что $h^2 < d^2$, то есть $0 < h < d$.

Подставим выражение для $a^2$ в формулу объема: $V(h) = (d^2 - h^2)h = d^2h - h^3$

Чтобы найти максимум этой функции на интервале $(0, d)$, найдем ее производную по h: $V'(h) = \frac{d}{dh}(d^2h - h^3) = d^2 - 3h^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $d^2 - 3h^2 = 0$ $3h^2 = d^2$ $h^2 = \frac{d^2}{3}$

Так как $h>0$, выбираем положительный корень: $h = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$

Это значение $h$ принадлежит интервалу $(0, d)$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, используем вторую производную: $V''(h) = \frac{d}{dh}(d^2 - 3h^2) = -6h$

Поскольку для любого $h > 0$ вторая производная $V''(h)$ отрицательна, найденная точка $h = \frac{d\sqrt{3}}{3}$ является точкой максимума функции объема.

Следовательно, объем призмы будет наибольшим при длине бокового ребра, равной $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.