Номер 46.59, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.59. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $a$ м, а верхняя точка постамента — на $b$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Обозначим искомое расстояние от человека до памятника как $x$. Пусть уровень глаз человека будет служить горизонтальной осью отсчета, а вертикальная ось проходит через основание памятника. Введем следующие обозначения: $A$ — верхняя точка памятника (статуи) на высоте $a$ над уровнем глаз; $B$ — верхняя точка постамента (основание статуи) на высоте $b$ над уровнем глаз; $O$ — точка, где находятся глаза человека; $P$ — основание памятника на уровне глаз человека, так что $OP = x$.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle OPA$ и $\triangle OPB$. Угол, под которым человек видит статую, — это угол $\gamma = \angle AOB$. Этот угол можно представить как разность двух углов: $\gamma = \angle AOP - \angle BOP$. Обозначим $\alpha = \angle AOP$ и $\beta = \angle BOP$. Тогда $\gamma = \alpha - \beta$.

Из прямоугольных треугольников находим тангенсы этих углов:
$\tan \alpha = \frac{PA}{OP} = \frac{a}{x}$
$\tan \beta = \frac{PB}{OP} = \frac{b}{x}$

Теперь выразим тангенс угла $\gamma$ через тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$, используя формулу тангенса разности:$$ \tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$Подставим найденные выражения:$$ \tan \gamma = \frac{\frac{a}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{x}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{1 + \frac{ab}{x^2}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{\frac{x^2+ab}{x^2}} = \frac{(a-b)x}{x^2+ab} $$

Нам необходимо найти такое значение $x > 0$, при котором угол $\gamma$ будет наибольшим. Поскольку для острых углов (каким и является угол зрения, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$) функция тангенса является монотонно возрастающей, максимизация угла $\gamma$ эквивалентна максимизации его тангенса.

Рассмотрим функцию $f(x) = \tan \gamma = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$. Для нахождения ее максимума найдем производную $f'(x)$ и приравняем ее к нулю. Используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, получаем:$$ f'(x) = \frac{(a-b)(x^2+ab) - (a-b)x(2x)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(x^2+ab - 2x^2)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(ab - x^2)}{(x^2+ab)^2} $$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $f'(x) = 0$. Поскольку из условия задачи $a > b$, то $a-b > 0$, а знаменатель $(x^2+ab)^2$ всегда положителен для $x>0$. Следовательно, равенство нулю возможно только если числитель равен нулю:$$ ab - x^2 = 0 $$$$ x^2 = ab $$$$ x = \sqrt{ab} $$(так как расстояние $x$ должно быть положительным).

Проверим, является ли найденная точка точкой максимума. Для этого исследуем знак производной $f'(x)$, который определяется знаком выражения $(ab - x^2)$.
При $0 < x < \sqrt{ab}$, имеем $x^2 < ab$, поэтому $ab - x^2 > 0$ и $f'(x) > 0$ (функция $f(x)$ возрастает).
При $x > \sqrt{ab}$, имеем $x^2 > ab$, поэтому $ab - x^2 < 0$ и $f'(x) < 0$ (функция $f(x)$ убывает).
Поскольку при переходе через точку $x = \sqrt{ab}$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Таким образом, угол, под которым видна статуя, будет наибольшим, когда человек стоит на расстоянии $\sqrt{ab}$ от памятника.

Ответ: Человек должен стать на расстоянии $\sqrt{ab}$ м от памятника.