Номер 46.52, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.52. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки P и E так, что $BP = BE = 3 \text{ см}$.

На сторонах AD и CD берутся точки соответственно K и M так, что четырёхугольник KREM — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину $A$ квадрата $ABCD$ в начало координат. Так как сторона квадрата равна 8 см, вершины будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(8, 8)$ и $D(0, 8)$.

Найдем координаты точек $P$ и $E$.Точка $P$ лежит на стороне $AB$ (ось $Ox$), и по условию $BP = 3$ см. Длина $AB = 8$ см, значит $AP = AB - BP = 8 - 3 = 5$ см. Координаты точки $P$ будут $(5, 0)$.Точка $E$ лежит на стороне $BC$ (прямая $x=8$), и по условию $BE = 3$ см. Координаты точки $B$ — $(8, 0)$, поэтому координаты точки $E$ будут $(8, 3)$.

Точка $K$ лежит на стороне $AD$ (ось $Oy$), а точка $M$ — на стороне $CD$ (прямая $y=8$). Обозначим длины отрезков $AK = k$ и $DM = m$. В этом случае $0 \le k \le 8$ и $0 \le m \le 8$. Координаты этих точек будут $K(0, k)$ и $M(m, 8)$.

Четырехугольник $KPEM$ является трапецией, если у него есть одна пара параллельных сторон. Противоположными сторонами являются $KP$ и $EM$, а также $KE$ и $PM$. Параллельность прямых означает равенство их угловых коэффициентов.

Найдем угловые коэффициенты прямых:

• Угловой коэффициент $k_{KP} = \frac{k - 0}{0 - 5} = -\frac{k}{5}$
• Угловой коэффициент $k_{EM} = \frac{8 - 3}{m - 8} = \frac{5}{m - 8}$
• Угловой коэффициент $k_{KE} = \frac{3 - k}{8 - 0} = \frac{3 - k}{8}$
• Угловой коэффициент $k_{PM} = \frac{8 - 0}{m - 5} = \frac{8}{m - 5}$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Стороны $KE$ и $PM$ параллельны. Тогда $k_{KE} = k_{PM}$:$ \frac{3 - k}{8} = \frac{8}{m - 5} $$ (3 - k)(m - 5) = 64 $Поскольку $0 \le k \le 8$, то $-5 \le 3 - k \le 3$.Поскольку $0 \le m \le 8$, то $-5 \le m - 5 \le 3$.Произведение двух чисел из отрезка $[-5, 3]$ может дать максимальное значение $ (-5) \times (-5) = 25 $. Так как $25 < 64$, это равенство не может выполняться. Следовательно, стороны $KE$ и $PM$ не могут быть параллельны.

2. Стороны $KP$ и $EM$ параллельны. Тогда $k_{KP} = k_{EM}$:$ -\frac{k}{5} = \frac{5}{m - 8} $$ -k(m - 8) = 25 $$ k(8 - m) = 25 $Это условие должно выполняться. Из него мы можем выразить одну переменную через другую, например, $k = \frac{25}{8 - m}$.Поскольку $0 < k \le 8$, то $0 < \frac{25}{8 - m} \le 8$.Из $ \frac{25}{8 - m} > 0 $ следует, что $8 - m > 0$, то есть $m < 8$.Из $ \frac{25}{8 - m} \le 8 $ следует, что $25 \le 8(8 - m) \implies 25 \le 64 - 8m \implies 8m \le 39 \implies m \le \frac{39}{8} = 4.875$.Таким образом, для переменной $m$ действует ограничение $0 \le m \le \frac{39}{8}$.

Теперь найдем площадь трапеции $S_{KPEM}$. Проще всего это сделать, вычтя из площади всего квадрата $S_{ABCD}$ площади четырех угловых фигур: треугольников $APK$, $PBE$, $KDM$ и четырехугольника $MCBE$. Нет, удобнее вычесть треугольники $APK$, $PBE$, $ECM$ и $KDM$.$S_{ABCD} = 8^2 = 64$ см?.

• $S_{\triangle APK} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot k = 2.5k$
• $S_{\triangle PBE} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$
• $S_{\triangle KDM} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot (8-k) \cdot m = 4m - 0.5km$
• $S_{\triangle ECM} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot (8-3) \cdot (8-m) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8-m) = 20 - 2.5m$

$S_{KPEM} = S_{ABCD} - S_{\triangle APK} - S_{\triangle PBE} - S_{\triangle KDM} - S_{\triangle ECM}$$S = 64 - 2.5k - 4.5 - (4m - 0.5km) - (20 - 2.5m)$$S = 39.5 - 2.5k - 4m + 0.5km + 2.5m = 39.5 - 2.5k - 1.5m + 0.5km$

Из условия $k(8 - m) = 25$ имеем $8k - km = 25$, откуда $km = 8k - 25$. Подставим это в формулу для площади:$S = 39.5 - 2.5k - 1.5m + 0.5(8k - 25)$$S = 39.5 - 2.5k - 1.5m + 4k - 12.5 = 27 + 1.5k - 1.5m$Теперь выразим $m$ из условия: $8 - m = \frac{25}{k} \implies m = 8 - \frac{25}{k}$.$S(k) = 27 + 1.5k - 1.5(8 - \frac{25}{k}) = 27 + 1.5k - 12 + \frac{37.5}{k} = 15 + 1.5k + \frac{37.5}{k}$$S(k) = 15 + 1.5(k + \frac{25}{k})$

Нужно найти наибольшее значение этой функции. Определим диапазон для $k$. Так как $0 \le m \le \frac{39}{8}$, то для $k = \frac{25}{8-m}$ получаем:При $m=0$, $k = \frac{25}{8}$.При $m=\frac{39}{8}$, $k = \frac{25}{8 - 39/8} = \frac{25}{25/8} = 8$.Таким образом, $k$ изменяется на отрезке $[\frac{25}{8}, 8]$.

Исследуем функцию $f(k) = k + \frac{25}{k}$ на отрезке $[\frac{25}{8}, 8]$.Найдем производную: $f'(k) = 1 - \frac{25}{k^2}$.Приравняем производную к нулю: $1 - \frac{25}{k^2} = 0 \implies k^2 = 25 \implies k=5$ (так как $k>0$).Точка $k=5$ принадлежит отрезку $[\frac{25}{8}, 8]$ (т.к. $3.125 \le 5 \le 8$).Вторая производная $f''(k) = \frac{50}{k^3} > 0$ при $k>0$, значит, в точке $k=5$ находится минимум функции.Следовательно, наибольшее значение функция $S(k)$ достигает на одном из концов отрезка $[\frac{25}{8}, 8]$.

Вычислим значения площади на концах отрезка:При $k = \frac{25}{8}$:$ S(\frac{25}{8}) = 15 + 1.5(\frac{25}{8} + \frac{25}{25/8}) = 15 + 1.5(\frac{25}{8} + 8) = 15 + 1.5(\frac{25+64}{8}) = 15 + 1.5 \cdot \frac{89}{8} = 15 + \frac{3}{2} \cdot \frac{89}{8} = 15 + \frac{267}{16} = \frac{240+267}{16} = \frac{507}{16} $

При $k = 8$:$ S(8) = 15 + 1.5(8 + \frac{25}{8}) = 15 + 1.5(\frac{64+25}{8}) = 15 + 1.5 \cdot \frac{89}{8} = \frac{507}{16} $

Наибольшая площадь в обоих случаях одинакова и равна $\frac{507}{16} = 31.6875$ см?.

Ответ: $31.6875$ см?.