Номер 46.57, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.57. Из прямоугольной трапеции с основанием $a$ и $b$ и высотой $h$ вырезают прямоугольник наибольшей площади.

Чему равна эта площадь, если:

а) $a = 80, b = 60, h = 100;$

б) $a = 24, b = 8, h = 12?$

Для решения задачи оптимизации найдем площадь вписанного прямоугольника как функцию одной переменной, а затем найдем максимум этой функции.

Поместим прямоугольную трапецию в декартову систему координат. Пусть одна из вершин находится в начале координат, большее основание лежит на оси абсцисс, а боковая сторона, перпендикулярная основаниям, — на оси ординат. Обозначим большее основание как $a_{long}$ и меньшее как $a_{short}$.

Вершины трапеции будут иметь координаты $(0, 0)$, $(a_{long}, 0)$, $(a_{short}, h)$ и $(0, h)$.

Будем вписывать прямоугольник так, чтобы одна из его сторон лежала на перпендикулярной боковой стороне трапеции (оси $y$), а другая — на большем основании (оси $x$). Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда его площадь $S = xy$.

Чтобы прямоугольник был вписан в трапецию, его вершина с координатами $(x, y)$ должна лежать на наклонной боковой стороне трапеции. Найдем уравнение прямой, содержащей эту сторону. Прямая проходит через точки $(a_{long}, 0)$ и $(a_{short}, h)$.

Угловой коэффициент прямой: $k = \frac{h - 0}{a_{short} - a_{long}} = -\frac{h}{a_{long} - a_{short}}$.

Уравнение прямой: $Y - 0 = k(X - a_{long})$, то есть $Y = -\frac{h}{a_{long} - a_{short}}(X - a_{long})$.

Поскольку точка $(x, y)$ лежит на этой прямой, ее координаты связаны соотношением: $y = -\frac{h}{a_{long} - a_{short}}(x - a_{long})$.

Выразим $x$ через $y$: $x = a_{long} - \frac{a_{long} - a_{short}}{h}y$.

Теперь площадь прямоугольника можно выразить как функцию от высоты $y$:

$S(y) = x \cdot y = \left(a_{long} - \frac{a_{long} - a_{short}}{h}y\right)y = a_{long}y - \frac{a_{long} - a_{short}}{h}y^2$.

Это квадратичная функция от $y$, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум достигается в вершине параболы. Высота $y$ может изменяться в пределах от $0$ до $h$.

а) $a = 80, b = 60, h = 100$

В этом случае $a_{long} = 80$, $a_{short} = 60$, $h = 100$.

Функция площади имеет вид:

$S(y) = 80y - \frac{80 - 60}{100}y^2 = 80y - \frac{20}{100}y^2 = 80y - \frac{1}{5}y^2$.

Найдем вершину параболы. Координата $y_v$ вершины параболы $f(t) = ct+dt^2$ находится по формуле $y_v = -\frac{c}{2d}$.

$y_v = -\frac{80}{2 \cdot (-\frac{1}{5})} = \frac{80}{\frac{2}{5}} = \frac{80 \cdot 5}{2} = 200$.

Высота прямоугольника $y$ должна быть в диапазоне $[0, 100]$. Поскольку вершина параболы $y_v = 200$ находится за пределами этого диапазона, а ветви параболы направлены вниз, максимальное значение функции на отрезке $[0, 100]$ достигается на правом конце отрезка, то есть при $y = 100$.

Вычислим максимальную площадь:

$S_{max} = S(100) = 80 \cdot 100 - \frac{1}{5}(100)^2 = 8000 - \frac{10000}{5} = 8000 - 2000 = 6000$.

Ответ: 6000.

б) $a = 24, b = 8, h = 12$

Здесь $a_{long} = 24$, $a_{short} = 8$, $h = 12$.

Функция площади имеет вид:

$S(y) = 24y - \frac{24 - 8}{12}y^2 = 24y - \frac{16}{12}y^2 = 24y - \frac{4}{3}y^2$.

Найдем вершину параболы:

$y_v = -\frac{24}{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = \frac{24}{\frac{8}{3}} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$.

Высота прямоугольника $y$ должна быть в диапазоне $[0, 12]$. Вершина параболы $y_v = 9$ находится внутри этого диапазона, следовательно, максимальное значение функции достигается именно в этой точке.

Вычислим максимальную площадь:

$S_{max} = S(9) = 24 \cdot 9 - \frac{4}{3}(9)^2 = 216 - \frac{4}{3} \cdot 81 = 216 - 4 \cdot 27 = 216 - 108 = 108$.

Ответ: 108.