Номер 46.61, страница 286, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.61. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Пусть $a$ — сторона квадратного основания бака в дециметрах (дм), а $h$ — его высота в дециметрах. Объем бака составляет 32 л. Поскольку 1 л = 1 дм³, объем бака равен $V = 32 \text{ дм}^3$.

Объем бака (прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле $V = a^2h$. Подставляя заданное значение, получаем уравнение связи между размерами бака: $a^2h = 32$.

Количество материала для изготовления открытого бака определяется площадью его поверхности $S$. Поверхность состоит из квадратного основания и четырех одинаковых прямоугольных боковых стенок. Площадь основания: $S_{осн} = a^2$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$. Общая площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 4ah$.

Чтобы найти размеры, минимизирующие расход материала, необходимо минимизировать функцию площади $S$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Выразим высоту $h$ через сторону основания $a$: $h = \frac{32}{a^2}$.

Теперь подставим это выражение в формулу для площади $S$, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $a$: $S(a) = a^2 + 4a \left(\frac{32}{a^2}\right) = a^2 + \frac{128}{a}$.

Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю: $S'(a) = \frac{d}{da} \left(a^2 + \frac{128}{a}\right) = 2a - \frac{128}{a^2}$. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $S'(a) = 0 \implies 2a - \frac{128}{a^2} = 0$. $2a = \frac{128}{a^2} \implies 2a^3 = 128 \implies a^3 = 64$. Решая уравнение, получаем $a = \sqrt[3]{64} = 4$ дм.

Чтобы убедиться, что найденное значение $a=4$ соответствует минимуму, а не максимуму, используем вторую производную: $S''(a) = \frac{d}{da} \left(2a - \frac{128}{a^2}\right) = 2 + \frac{256}{a^3}$. Поскольку длина стороны $a$ должна быть положительной ($a > 0$), вторая производная $S''(a)$ всегда будет положительной. Следовательно, при $a=4$ дм функция площади $S(a)$ имеет минимум.

Найдем соответствующую высоту бака $h$ при $a=4$ дм: $h = \frac{32}{a^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$ дм. Таким образом, наименьшее количество материала потребуется для изготовления бака со стороной основания 4 дм и высотой 2 дм.
Ответ: сторона основания 4 дм, высота 2 дм.